Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
^1 = /о(?)+-^+^+..., (32.31а)
где
U = t — г* — «запаздывающее время»,
Ti=-U, /; = 0, f'n^~(n+^~2)fn-i + (n-2)Mfn^. (32.316)
Если пространство-время плоское (M = 0), это решение принимает вид
= fl(U) +h(0)/r. (32.3ІВ)
[В выражении для 1F1 можно вынести за скобки 1/г, так как поле
излучения f[ (U) спадает как 1/г, см. скалярно-волновую функцию
*) Более подробно этот вопрос изложен в работах [73—75].
§ 32.7. Обзор проблемы реального гравитационного коллапса 71
2
(32.27а).] Члены /2 (U)Ir2 + . . отсутствующие в случае плоского пространства-времени, относятся к обратному рассеянию распространяющейся наружу волны на кривизне пространства-времени. Их иногда называют волновыми «хвостами».
б. Покажите, что в самом общем случае статическое дипольное поле имеет вид (32.31а), где
(/о)статич = Oi (/і)статич = D—(диПОЛЬНЫЙ МОМЄНТ),
if) -JLmd • (32.32)
и2Устатнч 2 lvlL/4 ••
в. Рассмотрите звезду (не черную дыру!) с дипольным полем, которое в начальный момент является статическим. Пусть в момент t — 0 динольный момент звезды скачком меняется до нового статического значения D'. Уравнения (32.31) требуют, чтобы /2 сохранялось («константа» Ньюмана — Пенроуза [77]). Следовательно, /2 всегда будет иметь значение 3/2 MD, соответствующее прежнему дипольному моменту, и никогда не изменится до 3I2 MD'. В этом и состоит проявление хвоста тех волн, которые генерируются резким изменением дипольного момента. Чтобы лучше понять этот эффект, связанный с хвостом, и обнаружить существенную ошибку в приведенном выше результате, получите решение (32.31) для запаздывающего времени U > 0, используя следующие допущения:
1) при UcO поле имеет статический вид (32.32),
2) при U > 0 Д = D'. (32.33)
Представьте ответ в следующем виде:
Tjf _ D' і 3Z2MD j у 2М (D' —D) (— l)n+1 (я + 1) Un^
(2 г)п
п=3
г № M4J
,п(М2 M4J \ ,,, ,,,
+ ° І4 ) • (32-34)
(Отброшенные члены малы по сравнению с оставленными при любых Ulr, если г М.) Очевидно, пока ряд сходится, «константа» Ньюмана — Пенроуза (коэффициент при Ilr2) «помнит» старое значение D и является сохраняющейся величиной, как и утверждалось выше. Покажите, что ряд, однако, расходится при U > 2г, т. е. он расходится внутри сферы, которая расширяется наружу с асимптотической скоростью, равной 1I3 скорости света. Таким образом, «константа» Ньюмана — Пенроуза хорошо определена и сохраняется лишь вне конуса, который похож на световой, но соответствует скорости, равной 1I3 скорости света («1/3-световой конус»).
УПРАЖНЕНИЯ
2
72 32. Гравитационный коллапс
УПРАЖНЕНИЯ
г. Просуммируйте ряд (32.34), чтобы получить решение, справедливое даже при U > 2г:
новое статическое «хвостовой член» 1259
решение
1259
ряду (32.34) при U < 2г (в области сходимости ряда),
Исходя из этого результата, сделайте вывод, что для фиксированного г в достаточно поздние моменты, времени электромагнитное поле становится асимптотически статическим, а «константа» Ньюмана — Пенроуза принимает новое значение 3I2MD', соответствующее новому дипольному моменту.
Дополнение 32.2. КОЛЛАПС С МАЛЫМИ НЕСФЕРИЧЕСКИМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ1)
А. Возмущения плотности
1. В распределении плотности звезды в момент, когда она начинает коллапси-ровать, имеется небольшой «комок», нарушающий сферическую симметрию.
2. В процессе коллапса комок все больше и больше растет (неустойчивость коллапса относительно мальґх возмущений — явление, хорошо известное в ньютоновской теории, см., например, [79, 80]).
3. Растущий комок излучает гравитационные волны.
4. Волны с малой длиной волны (X^M)1 испущенные вблизи горизонта (г — 2M С М), частично распространяются на бесконечность, а частично испытывают обратное рассеяние на «фоновой» шварцшильдовской кривизне пространства-времени. Волны, испытавшие обратное рассеяние, распространяются к горизонту (поверхности черной дыры, гравитационному радиусу), который образован коллапсирующей звездой.
5. Волны с большой длиной волны (Я^ М), испущенные вблизи горизонта (г — 2M =? М), испытывают полное обратное рассеяние на кривизне пространства-времени; они никогда не выйдут за пределы области, ограниченной радиу-
1) Основано на детальных расчетах Прайса [70, 71, 78]. (Впервые коллапс с малыми несферическими возмущениями рассмотрен в работе [492]; добавления см. в работе [493], о магнитном поле см. [508, 509]. В этих работах получены важные выводы о том, что предельное поле определяется только массой звезды и моментом импульса, но в них не рассматривается детальный процесс излучения, как это сделано в работах Прайса. — Прим. ред.)
§ 32.7. Обзор проблемы реального гравитационного коллапса 73
2
сом г~ ЗМ; распространение длинных волн обрывается «в дыре».
6. Продолжает ли на звезде существовать этот комок, когда она погружается под гравитационный радиус, и образует ли звезда в таком случае искаженный (комковатый) горизонт? Расчеты показывают, что так оно и есть.
7. Ho внешний наблюдатель может узнать о существовании «предельного комка» только посредством исследования искажения (квадрупольного момента) гравитационного поля. Это предельное искажение поля не может распространяться наружу с бесконечной скоростью (мгновенного «действия на расстоянии» в природе не существует). Это искажение в виде гравитационных волн с почти бесконечной длиной волны (распространяясь от самого горизонта до любого внешнего радиуса, волны испытывают бесконечное красное смещение) распространяется наружу со скоростью света. Искажение предельного поля, как и любая другая волна с большой длиной волны, при г < 3M испытывает полное обратное рассеяние на кривизне пространства-времени; оно не может достичь внешнего наблюдателя. Внешний наблюдатель никогда не узнает о существовании предельного комка. Предельное внешнее поле представляет собой совершенно сферическую, не имеющую комков шварцшилъдоескую геометрию!
