Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
§ 32.2. Теорема Биркгофа 43
I
Теорему Биркгофа не только легко ПОНЯТЬ, HO и довольно легко доказать. Рассмотрим сферическую область пространства-времени. Уже одной сферической симметрии достаточно, чтобы гарантировать выполнение условий I, II и III дополнения 23.1 и обеспечить таким образом возможность введения шварцшильдовских координат
ds2 = — е2Ф dtz + е2Л dr2 + г2 (d02 + sin2 0 dd2),
Ф = Ф ((, г) „ Л = л <«, г). <32-2>
[Доказательство см. в дополнении 23.1; отметим следующее:
1) для общности необходимо допустить, что gtt = — е2ф и gTr = е2А могут быть как положительными, так и отрицательными (никаких ограничений на знак!); 2) в тех событиях, где градиент «функции, связанной с длиной окружности» г обращается в нуль, нельзя ввести шварцшильдовские координаты. В упражнении 32.1 рассматривается как раз этот специальный случай, когда (Vr)2 = 0.] Подставим метрику (32.2) в эйнштейновские уравнения поля для вакуума, используя при этом ортогональные компоненты тензора Эйнштейна, выведенные в упражнении 14.16:
G4 ? = г2 (1 - е-2Л) + 2 (AJr) е~2А = 0, (32.3а)
Gn = G9f=2 (A.t/r) е-(А+ф) = 0, (32.36)
G77 =2 (Ф.г/Г) е-2Л + J.-2(е-2Л_ 1} = о, (32.Зв)
Ge * - j = + (Ф.ГГ + Ф?г - Ф>гЛ.г + Ф.г/г ~ л» 2Л -
- (Л,, + Ашл— Л,|Ф>4) е-2Ф = 0. (32. Зг)
Уравнение (32.36) гарантирует, что Л является функцией только
г, после чего из уравнения (32.3а) получаем, что Л имеет тот же вид, что и в метрике Шварцшильда:
A =------In і 1 — 2Міг I (32.4а)
Далее, уравнения (32.Зв) и (32.Зг) благодаря тождеству Бианки V-G=O становятся двумя эквивалентными уравнениями, решение которых есть
ф = -§- In 11 — 2ЛГ/ГI + / (?). (32.46)
Здесь / — произвольная функция. Подставим выражения (32.4) в линейный элемент (32.2); при этом получим
ds* = _ e2/(„ ( i _ ) dt* + _g_+ r2 (d02 + sin2 0 ^2).
Переопределим после этого временную координату:
івов = j е/Ш dt
Доказательст во
теоремы
Биркгофа
I
44 32. Гравитационный коллапс
УПРАЖНЕНИЕ
и приведем, таким образом, линейный элемент к шварцшильдов-скому виду
*2 = _ (1 _ ) dp + ^2М!г- + r2+ sin29^2)•
Вывод: Если пространство-время вокруг какого-либо объекта обладает сферической симметрией и свободно от заряда, массы и каких бы то ни было полей, отличных от гравитационного поля, то можно ввести такие координаты, в которых метрика будет шварцшильдовской. Если сформулировать этот вывод, не прибегая к понятию координат, то мы получим: геометрия любой сферически симметричной вакуумной области пространства-времени является частью геометрии Шварцшильда (теорема Биркгофа). Что и требовалось доказать.
32.1. Единственность геометрии Рейснера —Нордстрема (курс 2)
Докажите следующую теорему, являющуюся обобщением теоремы Биркгофа. Пусть геометрия данной области пространства-времени 1) сферически симметрична и 2) является решением эйнштейновских уравнений поля с электромагнитным полем в качестве источника. Тогда такая геометрия с необходимостью есть часть геометрии Рейснера — Нордстрема [уравнение (31.246)], в которой электрические и магнитные поля, измеренные в обычной статической ортогональной системе отсчета, равны
E = (QJri) е~, В = (QJr*) е~, Q = (Ql + QWk
[Указания: 1. Сначала рассмотрите область пространства-време-ни, в которой (Vr)2=^ 0, используя те же методы, что и в тексте при доказательстве теоремы Биркгофа. В результате получается решение Рейснера — Нордстрема. 2. Любую область, имеющую размерность меньше четырех и в которой (Vr)2 = 0 (примером такой области служит шварцшильдовский радиус), можно рассматривать как границу между двумя четырехмерными областями с (Vr)2 =? 0. Более того, геометрия такой области однозначно определяется геометрией граничащих друг с другом четырехмерных областей («условия сшивания», § 21.13). Поскольку примыкающие друг к другу четырехмерные области обязательно имеют геометрию Рейснера — Нордстрема (п. 1), то и области, «зажатые» между ними, имеют ту же геометрию. 3. Затем рассмотрите четырехмерную область, в которой Vr = dr является нулевым, но не равным нулю *). Покажите, что в таких областях существует система координат, в которой
ds2 = — 2W dr dt + г2 (ей2 + sin2 0 cty2),
х) Напомним (см. часть III), что dr пазывается нулевым, т. е. лежит на световом конусе, если dr-dr = 0, но при этом не обязательно, чтобы dr обращалось в нуль.— Прим. перев.
§ 32.2. Теорема Биркгофа 45
где 1P = 1P (г, t). Покажите далее, что тензор Риччи для этого линейного элемента имеет ортогональную компоненту
Ru = 1 /г»,
в то время как тензор энергии-импульса для сферически симметричного электромагнитного поля обладает компонентой
8яГзд=8я (rgs. г) =QzIrit Q = const.
Эти величины Rgff и 8JtT1ffff должны быть равны (эйнштейновские уравнения поля), HO, с другой стороны, этого не может быть, поскольку эти величины по-разному зависят от г. Это означает, что электромагнитное поле не может порождать области, в которых dr Ф 0, a dr-dr = 0. 4. В заключение рассмотрите четырехмерную область, в которой dr = 0. Обозначьте постоянное значение г через а и покажите, что любое событие может быть выбрано за начало системы координат, обладающей локально хорошим поведением и такой, что
