Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Шекереса к координатам Шварцшильда (фиг. 31.3). Уравнения этого преобразования, записанные в виде (31.13), были справедливы лишь для квадрантов и > | v | [уравнение (31.13а)] п v > > I и I [уравнение (31.136)] в крускаловской системе координат. Обозначим эти квадранты цифрами I и II (фиг. 31.3), а два других — цифрами III и IV. В квадрантах III п IV также можно преобразовать линейный элемент Крускала — Шекереса (31.14) в шварцшильдовский линейный элемент (31.1), но для этого потребуются уравнения, немного отличные от (31.13а) и (31.136). Легко убедиться, что в этих квадрантах имеют место следующие
§ 31.5. Соотношение между координатами 31
I
преобразования:
и = (r/2M —1)1/2 ch ЩАМ),
I < .. (31.17а)
1 V = (r/2M — 1) /2 ег/ш sh (t/AM),
и= (I — гIlMs) h er'4M sh (І/4АГ),
V = (і — r/2M)lf2 ch (t/AM),
їм :. (31-176)
и= — (г/2М —1)1/2 ег-,ш Ch {t/Ш),
III < (31.17в)
1 v= -(r/2M-l)1/2e^Msh{t/AM),
t
и = — (1 - г/2М) е^ш sh It/AM),
IV < ' (31.17г)
1 у = — (1 _ г/2М) 2 ег/ш ch (t/AM).
Обратные преобразования имеют вид
(r/2M— 1) ег!гм = и2 — V2 в областях I, II, III и IV, (31.18а)
Г AM аг th (v/u) в областях I и III,
1 AM аг th (u/v) в областях II и IV. (31.186)
Эти преобразования координат представлены графически на фиг. 31.3. Отметим, что для покрытия всей геометрии Шварцшильда требуются две шварцшильдовские системы координат I, II и III, IV, но в то же время для этого достаточно одной крускалов-ской системы координат. Шварцшильдовская система координат I, II разделяется на две области: область I, которая находится вне гравитационного радиуса (г > 2М), и область II, находящаяся внутри гравитационного радиуса (г с 2М). Аналогично, шварцшильдовская система координат III, IV состоит из внешней III и внутренней IV областей.
Из уравнений (31.18) видно, что поверхности постоянного радиуса (или, что то же самое, поверхности постоянной площади) в координатах Крускала — Шекереса схематически изображаются гиперболами с асимптотами и = ± v, а поверхности постоянного t представляют собой в том же схематическом изображении прямые линии, проходящие через начало координат.
На фиг. 31.4 в системе координат Крускала — Шекереса изображены некоторые геодезические полной геометрии Шварцшильда. Заметим, насколько более приемлемо выглядят геодезические в координатах Крускала — Шекереса по сравнению со шварцшильдовскими координатами. Заметим также, что радиальные геодезические, вдоль которых движется свет, представляют собой прямые, наклоненные под углом 45° к осям системы координат Крускала — Шекереса. Это можно видеть непосредственно из линейного элемента Крускала — Шекереса (31.14), для которого du = + dv гарантирует ds — 0. Благодаря этому свойству нулевых геодезических иметь наклон 45° радиальный световой конус,
Переход от координат Шварцшильда к координатам Крускала — Шекереса
Для покрытия всего пространства-времени требуются две шварцшильдовские системы координат
Свойства системы координат Крускала — Шекереса
I
32 31. Геометрия Шварцшильда
t А', В', D\ F•
U (к
ФИГ. 31.4.
а — типичные времениподобные (А, Е, Г), световая (Ii) и нростран-ственноподобные (С, D) радиальные геодезические в геометрии Шварцшильда, схематически изображенные в шварцшильдовской системе координат; эта фигура является точным воспроизведением фиг. 31.1. б — те же геодезические в системе координат Крускала — Шекереса, продолженные либо до бескопечной протяженности, либо до сингулярности при г = О, где кривизна бесконечна (схематическое изображение).
изображенный в координатах Крускала — Шекереса, имеет ту же форму, что и в специальной теории относительности. Любая радиальная кривая, направленная «в обычном смысле вверх» (т. е. имеющая с вертикальной осью v угол меньше 45°), является времениподобной, а кривые, направленные «в обычном смысле наружу» относительно светового конуса, являются прострап-ственноподобными. Именно это свойство позволяет легко выявлять причинную связь между двумя событиями в пространстве-времени с помощью их графического изображения в координатах Крускала — Шекереса (см. упражнения 31.2—31.4).
упражнения 31.2. Нерадиальные световые конусы
Покажите, что мировая линия фотона, движущегося нерадиально, имеет угол меньше 45° с вертикальной осью на диаграмме Крускала — Шекереса. Исходя из этого, покажите, что частицы с конечной массой покоя, движущиеся радиально или перадиально, должны всегда двигаться «в обычном смысле вверх» (угол с вертикальной осью меньше 45°).
§ 31.5. Соотношение между координатами 33
I
31.3. Роковая катастрофа
Используя диаграмму Крускала, покажите следующее.
а. Если какой-то человек упал под гравитационный радиус г = 2М, то он обязательно попадет в сингулярность г = 0 (и погибнет там), и нет никакой возможности избежать этого.
б. Если человек упал под гравитационный радиус, то у него нет никакой возможности послать сообщения своим друзьям, находящимся снаружи на радиусе г > 2M1 но сам он может получать от них сообщения (например, в виде радиоволн, лазерного луча или в виде падающих вниз «посылок»).
