Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
При более глубоком рассмотрении указанного выше построения обнаружи-
вается причина такого затруднения. С геометрической точки зрения поверхности U = const (расширяющиеся нулевые поверхности) и V = const (сжимающиеся нулевые поверхности) определены вполне хорошо; но этого нельзя сказать о том способе, которым мы приписываем каждой такой поверхности метку. Любое
I 28 31. Геометрия Шварцшильда
переобозначение U-F(U) и v = G (V) с точки зрения физики оставляет эти поверхности без изменений. Необходимо такое переобозначение, которое устранило бы из линейного элемента (7) сингулярный множитель 1 — 2Міг. Переобозначение, приводящее к желаемому результату, подсказывается уравнением
exp [(F — U)!AM] = exp (г*/2М) — (г/2М — 1) ехр (г/2Л/), (8)
которое следут из уравнений (6а) и (1в). Немного поэкспериментировав с этим
уравнением, мы быстро обнаружим, что переобозначение
и = — — (Г/2Л/ — 1)1/2'ег/4ме-(/4м, (9а)
V= e+V/4J\J = (Г/2М— 1)1/2 ЄЛ/4МЄІ/4М (96)
устраняет из метрических коэффициентов доставляющий неприятности множитель I — 2M/r. В этих новых координатах линейный элемент записывается в виде
ds2 — — (32Л/3/г) e~r/2M dv du + г2 (с#)2-}- sin2 0 d<f>2). (IOa)
Здесь г по-прежнему определяется из условия, что 4яг2 — площадь сферы, HO
теперь г следует рассматривать как функцию от v и и:
(r/2M — I) е>2М - — UV. (106)
Легко убедиться, что это уравнение однозначно определяет г (напомним, что г > 0!) через произведение Uv (подробности см. в работе [19]).
Координаты и, v, которые использовались как метки для сжимающихся и расширяющихся нулевых поверхностей, являются нулевыми координатами, т. е.
д/ди- д/ди = g~~ = 0, djdv ¦ d/dv = g~~ = 0
[см. выражение (IOa)]. Если нет навыка работы с нулевыми координатами, то полезно заменить и V на пространственноподобную и времениподобную координаты и и V (это и есть координаты Крускала — Шекереса!), которые определяются следующим образом:
u = L (V-Z) = (Г/2М-І)1'2 ch (t/AM), (Ila)
V S= Y (v-\-и)-- (г/2М —1)1/2 ег‘ш sh (t/AM), (116)
так что
dv2— du2 ~dv du. (12)
В этих координатах линейный элемент имеет крускаловскую форму (31.14), и поведение этой системы координат на гравитационном радиусе абсолютно безупречно.
Хотя поведение линейного элемента Крускала — Шекереса при г — 2M вполне нормально, нельзя сказать того же о преобразовании (11) от шварцшильдовских координат к системе координат Крускала — Шекереса; это преобразование теряет смысл (и и V «мнимые»), когда мы переходим от г > 2M к г < 2М. Конечно, в этом проявляется сингулярность шварцшильдовских координат. Методом проб
§ 31.5. Соотношение между координатами 29 |
и ошибок легко находится новое преобразование, переводящее шварцшильдов-ские координаты в координаты Крускала — Шекереса, которое заменяет (И) при г < 2М:
и = (1 — г/2Л/)1/2 ег/ш sh (f/4/lf), (Ив)
V = (I —r/2M)1/2 er<kM ch (tliM). (Иг)
§ 31.5. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ КООРДИНАТАМИ КРУСКАЛА - ШЕКЕРЕСА И ШВАРЦШИЛЬДОВСКИМИ КООРДИНАТАМИ
В системе координат Крускала — Шекереса сингулярность г — О расположена в том месте, где V2 — и2 = 1. Таким образом, фактически имеется не одна, а две сингулярности:
V = + (1 + Ut)
2\*/2
И V
(1
і2)112 соответствуют г = О!
(31.15)
И это не единственный сюрприз, скрытый в линейном элементе Крускала — Шекереса (31.14). Заметим также, что г 2M (область пространства-времени, расположенная далеко от гравитационного радиуса) дается неравенством и2 v2. Таким образом, ж здесь имеются фактически две внешние области 1)
Координаты Крускала — Шекереса показывают, что в пространстве-времени Шварц-шильда имеются две «сингулярности г = О» и две «внешние области і' -*¦ оо»
и > + І і; I и и < — І і; I соответствуют г 2Ml (31.16)
Как это может быть? Когда геометрия описывается в шварцшиль-довских координатах, она содержит одну сингулярность и одну внешнюю область; но когда геометрия Шварцшильда описывается в координатах Крускала — Шекереса, в ней появляются две сингулярности и две внешние области. Ответ состоит в том, что шварцшильдовская система координат охватывает лишь часть пространственно-временного многообразия; эту систему координат следует представлять себе как местную координатную сетку, наложенную лишь на часть этого многообразия. С помощью преобразования координат, приводящего к координатам Крускала — Шекереса, мы получаем метрику, которая покрывает все (или почти все) многообразие и которая является аналитическим продолжением ограниченного шварцшильдовского решения.
Чтобы иметь более ясное представление о таком покрытии, совершим обратное преобразование от координат Крускала —
г) Глобальная структура геометрии Шварцшильда, включающая две сингулярности и две внешних области, была впервые открыта Сингом [39]. ¦Cm. дополнение 31.1.
зо
31. Геометрия Шварцшильда
t
координаты Координаты Крускала - Шекереса
ФИГ. 31.3.
Преобразование геометрии Шварцшильда для вакуума от шварцшильдовекпх координат к координатам Крускала — Шекереса. Для покрытия всей геометрии Шварцшильда требуются две шварцшильдовскне координатные системы I, II и III, IV (показанные в верхней и нижней частях фиг. 31.5, а), в то время как для этой же цели достаточно одной системы координат Крускала — Шекереса. Геометрия Шварцшильда включает четыре области I, II, III и IV. Области I и III представляют собой две раздельные, но тождественные асимптотически плоские вселенные, в которых г > 2Af; в то же время области II и IV являются двумя также тождественными, но обратимыми по отношению друг к другу во времени областями, в которых эволюционируют физические сингулярности (г = 0). Законы преобразования, связывающие системы координат Шварцшильда и Крускала — Шекереса, даются уравнениями (31.17) и (31.18). В системе координат Крускала — Шекереса в плоскости (и, v) кривые постоянного г представляют собой гиперболы с асимптотами и = +V, а кривые постоянного t — прямые, проходящие через начало координат.
