Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
31.4. Сколько времени осталось жить?
Покажите, что если человек, падающий вниз, достиг гравитационного радиуса, то независимо от того, что он будет предпринимать впоследствии (независимо от того, в каком направлении, как долго и с какой мощностью будет работать двигатель его ракеты), его затянет в сингулярность, где он погибнет за собственное время
T <-Гмакс = ItM = 1,54.IO-5 (MIMq) с. (31.19)
[Указание. Траектория, вдоль которой указанный интервал собственного времени максимален, должна быть геодезической. Используя математический аппарат гл. 25, покажите, что геодезическая, на которой интервал собственного времени между г = = 2M и г = 0 максимален, является радиальной геодезической (31.10а) с гмако = 2М\ для нее этот интервал времени равен пМЛ
31.5. Сравнение координат Эддингтона — Финкелыптейна и Крускала — Шекереса
Воспользуйтесь координатными диаграммами для сравнения сжимающейся и расширяющейся систем координат Эддингтона — Финкелыптейна, приведенных в дополнении 31.2, с координатами Крускала — Шекереса. Проделайте это, приняв в качестве образца сравнение шварцшильдовских координат с координатами Крускала — Шекереса, проведенное на фиг. 31.3 и 31.4.
31.6. Еще одна система координат
Постройте координатную диаграмму для системы координат U, F, 9, которая приводится в дополнении 31.2 [уравпепия (6) и (7)]. Покажите на диаграмме такие характерные черты, как
1) связь с координатами Шварцшильда и Крускала — Шекереса,
2) положение г = 2M и 3) радиальные геодезические.
УПРАЖНЕНИЯ
.4 — 01 S
I
34 31. Геометрия Шварцшильда
3-поверхность V = t = о является «горловиной» , которая соединяет две асимптотически плоские вселенные или две области одной вселенной
Геометрия Шварцшильда является динамической в областях ґ < *2 Jlf
§ 31.6. ДИНАМИКА ГЕОМЕТРИИ ШВАРЦШИЛЬДА
Как выглядит геометрия Шварцшильда? На этот вопрос легче всего ответить с помощью диаграмм погружения, аналогичных тем, которые использовались для изучения равновесной звезды [§ 23.8, фиг. 23.1 и конец дополнения 23.2] и вселенных Фридмана с положительной и отрицательной кривизной [уравнения (27.23) и (27.24), а также дополнение 27.2].
Исследуем сначала геометрию пространственноподобной гиперповерхности v = 0, которая простирается от и = -f- оо (г = оо) до внутренней границы и = 0 (г = 2М) и затем до другой внешней границы и = — оо (г = оо). В шварцшильдовской системе координат эта поверхность представляет собой сечение постоянного времени t — О [см. уравнение (31.186)]; это как раз та поверхность, для которой вычислялась диаграмма погружения с помощью уравнения (23.346). Погружаемая поверхность, одна из вращательных степеней свободы которой отбрасывается, описывается параболоидом вращения
г = 2М+12/8М (31.20)
в плоском эвклидовом пространстве с метрикой
da2 = d? + d? + ЇЧф2 (31.21)
(фиг. 31.5).
Заметим, исходя из диаграммы погружения, показанной на фиг. 31.5, а, что геометрия Шварцшильда на пространственноподобной гиперповерхности t = const включает в себя мост, или «горловину», соединяющую две отдельные, но тождественные плоские вселенные. Этот мост иногда называют «мостом Эйнштейна — Розена», «шварцшильдовским перешейком» или «шварцшильдовской горловиной». При желании можно изменить топологию геометрии Шварцшильда, соединив две асимптотически плоские вселенные вместе в области, удаленной от шварцшильдовской горловины ([45]; фиг. 31.5, б). Единственная вселенная становится, таким образом, неодносвязной: один пространственноподобный путь из точки -Л в точку 38 проходит по шварцшильдовской горловине, а другой — по почти плоской вселенной. Для определенности сконцентрируем внимание на интерпретации геометрии Шварцшильда в виде двойной вселенной Эйнштейна — Розена (фиг. 31.5, а), не касаясь многосвязной единственной вселенной Уилера.
Как правило, мы привыкли думать о геометрии Шварцшильда как о статической геометрии. Однако статическое «преобразование времени» t -> t + At, которое оставляет геометрию Шварцшильда неизменной, является преобразованием времени в строгом смысле этого слова лишь в областях I и III геометрии Шварцшильда. В областях II и IV преобразование t 1 + At является
§ 31.6. Динамика геометрии Шварцшильда
35
2
а — пространственная геометрия Шварцшильда в «момент времени» t = = V = 0; одна из вращательных степеней свободы не изображена (0 = п/2). Чтобы восстановить эту вращательную степень свободы и получить полную шварцшильдовскую 3-геометрию, нужно мысленно заменить окружности с постоянным ~г = {хг -f I/2)1/2 на сферические поверхности площадью 4яг2. Заметим, что полученная таким образом 3-геометрия переходит в плоскую (эвклидову) вдали от перешейка моста в обоих направлениях (две «вселенные»). б — погружение пространственной геометрии Шварцшильда в «момент времени» t = v = 0, геометрически тождественное погружению а, но топологически отличное от последнего. Полевые уравнения Эйнштейна определяют локальную геометрию пространства-времени, но не определяют его топологию (см. обсуждение в конце дополнения 27.2). На этой фигуре шварцшильдовская «горловина» соединяет две удаленные друг от друга области одной и той же единственной асимптотически плоской вселенной. Обсуждение спорных вопросов причинности, связанных с таким выбором топологии, см. в работе [45].
