Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
На радиусе г = 2 M падаю-
щий наблюдатель не испытывает бесконечных приливных сил
Таким образом, при г = 2M геометрия пространства-времени имеет нормальное поведение, а система координат в этом месте сингулярна
При г = 0 кривизна бесконечна
УПРАЖНЕНИЕ
I 18 31. Геометрия Шварцшильда
упражнение ливпыс силы при г = 2М, но при M < Mkp эти силы искалечат
его. (Ответ: Tlfjip ~ 1000 Mq. Очевидно, что при M ~ Tlfg физику следует превратиться в муравья, прежде чем ринуться навстречу опасности. Подробности см. в § 32.6.)
Дополнение 31.1. «ШВАРЦШИЛЬДОВСКАЯ СИНГУЛЯРНОСТЬ»:
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Эддингтон [37] впервые построил систему координат, свободную от сингулярности при г= 2М, однако он не вполне осознал значение своего результата. Леметр (см. [38], особенно стр. 82), по-видимому, первый понял, что так называемая «шварцшильдовская сингулярность» при г=2М вовсе не является сингулярностью. Он писал: « La singularite du champ de Schwarzschild est done une singularite fic-tive, analogue a celle qui se presentait a l’horizon du centre dans la forme originate de I’uni vers de de Sitter » *). Он тоже построил систему координат, охватывающую горизонт г = 2М. Тем не менее его система координат, подобно системе Эддингтона, охватывала лишь половину геометрии Шварцшильда (области I и II на фиг. 31.3). Синг [39] впервые открыл неполноту систем координат Эддингтона и Леметра и построил новую систему координат, которая охватывает всю геометрию (области I, II, III, IVна фиг. 31.3). Фронсдал [40], не знавший о работе Синга, заново открыл глобальную структуру геометрии Шварцшильда с помощью диаграмм погружения и вычислений. Система координат, которая наиболее полно охватывает геометрию Шварцшильда, известна как система координат Крускала — Шекереса. Крускал [41] и Шекерес [42] построили ее независимо друг от друга.
§ 31.3. ПОВЕДЕНИЕ ШВАРЦШИЛЬДОВСКИХ КООРДИНАТОРЕ г 2 M
сущность спнгу- Поскольку поведение геометрии пространства-времени на грави-
на?'при\- =Тм" тационном радиусе вполне нормально, сингулярный характер шварцшильдовских метрических компонент gtt = — (1 — 2М!г) и grr = (1 — 2M!r)~l должен быть обусловлен сингулярностью шварцшильдовских координат t, г, 0, ф. Необходимо каким-то образом найти способ избавиться от этой сингулярности, т. е. надо построить новую систему координат, в которой сингулярность отсутствует. Прежде чем заниматься этим, полезно получше разобраться, в чем именно заключается сущность этой сингулярности.
1J «Сингулярность в поле Шварцшильда является такой же фиктивной сингулярностью, как и сингулярность, представленная горизонтом вокруг центра вселенной де Ситтера в ее первоначальной форме» (франц.).— Прим. перев.
§ 31.3. Поведение шварцшильдовских координат при г = 2M 19
I
Наиболее очевидным образом сингулярность при г = 2M проявляется в том, что временная t и пространственная г координаты меняются в этом месте ролями г). В области г > 2М направление t, т. е. d/dt, является времениподобным (gti <0), а направление г, т. е. д/дг,— пространственноподобным (grr > 0); но при г < 2М dldt пространственноподобно (gtt > 0), а д/дг времениподобно (grT <0).
Что следует понимать под тем обстоятельством, что координата г, выступавшая в качестве пространственноподобной координаты, становится времениподобной? Воображаемый наблюдатель, который перемещается в космическом корабле с ракетными двигателями, но не достиг еще г = 2М, всегда имеет возможность включить двигатели и направить свое движение, которое до этого проходило с уменьшением г (падение), в сторону увеличения г (преодоление сил притяжения). Ho если он попал внутрь сферы г = 2М, то ситуация в корне меняется. В этом случае дальнейшее уменьшение г играет роль течения времени. Среди тех команд, которые путешественник может дать своим ракетным двигателям, пет такой, которая могла бы повернуть время вспять. Ta же незримая повсюду действующая сила, которая независимо от нашей воли влечет каждого из нас от возраста двадцать лет к сорока годам и от сорока лет к восьмидесяти, тянет ракету внутрь от временной координаты г = 2M к более позднему значению временной координаты г — 0. Никакой акт человеческой воли, никакой двигатель, никакая ракета, никакая сила (см. упражнение 31.3) не могут заставить время остановиться. Как несомненно то, что живые клетки умирают, а часы путешественника отстукивают «безвозвратно уходящие минуты», так же несомненно и то, что г неуклонно уменьшается от 2M до нуля.
При г = 2М, где г и t меняются ролями как пространственная її временная координаты, gtt стремится к нулю, в то время как grr обращается в бесконечность. Обращение gtt в нуль предполагает, что поверхность г = 2М, которая может сначала показаться трехмерной в шварцшильдовской системе координат (—оо <; t < <;-{-оо, 0 <0 <л, 0 Сф <2л;), имеет объем, равный нулю, и, следовательно, на самом деле является всего лишь двумерной или, иначе говоря, нулевой поверхностью', таким образом,
j \gttgввgфф\1|2dtdQdф =0,
Т2М (31-8)
J І^ее^фф |1/2 й0й^ = 4л (2М)2.
