Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
(г=2М, i=const)
Расходимость grr при г = 2M не означает, что г = 2M находится бесконечно далеко от других областей пространства-времени.
1J Система отсчета, в которой в выражении (31.1) координата г рассматривается как времепная, at — как пространственная при г < 2М, исследуется в работе [491].— Прим. ред.
I) I и г меняются ролями как вре-мениподобная я пространственноподобная координаты
2) область-
г = 2МУ
— OO < t с + «V является двумерной, а не трехмерной
2*
I
20 SI. Геометрия Шварцшильда
3) радиальные геодезические показывают, что области г = 2 М, t = + 00, являются «конечными» частями пространст ва-времени
Напротив, собственное расстояние от г = 2M до точки с произвольным г дается формулой
[г (г - 2M)]l/2 + 2M In I (г/2М -1)1/2 -і- (г/2М)1/21
dr =
2 M
при г < 2М\ (31.9)
1/2Wr_; при г > 2М,
— 2М arc ctg [rl,i!(2M — r)I/2] — [г (2М — г)J1/2
это расстояние конечно для любых 0 <^г << оо.
Как именно область г < 2Л/ физически связана с областью г > 2М, можно установить, изучив радиальные геодезические в шварцшильдовской метрике. Для конкретности сосредоточим внимание на траектории пробной частицы, которая выбрасывается из сингулярности при г = О, летит по радиусу наружу, пересекая г = 2 М, достигает максимального радиуса гмакс («наивысшая точка орбиты») в момент собственного времени т = О и координатного времени t = 0, а затем падает вниз к г = 0, снова пересекая г = 2М. Решение уравнения для такой геодезической орбиты получено в § 25.5 и приведено па фиг. 25.3. Решение
имеет «форму циклоиды» (с параметром г|, пробегающим интервал значений от —я до +я):
r = -jrMaKC(l + cosT|), (31.10а)
T = (Гшакс/8М)1/2 (Tl J- Sin 11), (31.106)
t = 2M In
(гмакс/2Л/ —1)1/2+ tg (Л/2)
(г„акс/2Л/ — l)I/2-tg(T|,/2) I + 2^(?° _1)1/*Гл+(JWi) (Tl + Sim1)]. (31.10В)
На фиг. 31.1 эта орбита нанесена на плоскость координат г, t (кривая F — F' — /'"); кроме того, приведены некоторые другие типы радиальных геодезических.
Согласно фиг. 31.1 и соответствующим вычислениям, любая радиальная геодезическая, за исключением «множества геодезических меры нуль», пересекает гравитационный радиус при t = + оо (или при t — — оо, или же и при том и при другом значении t) (упражнения для студентов! Cm. гл. 25). Таким образом, можно подозревать, что все физические явления, происходящие на гравитационном радиусе, относятся к t ± оо по причине несколько неудачного выбора шварцшильдовских координат. Возникает надежда, что более удачно выбранная систама координат охватит и эти две «точки на бесконечности», развернув каждую из них в линию на новой плоскости (rH0B, tH0B), и что эта новая система координат сожмет «линию» (г = 2М, t от —оо до +оо)
§ 31.3. Поведение шварцшильдовских координат при г = 2М 21
I
А', В', O', F'
t (К t ш оо )
ФИГ. 31.1.
Типичные радиальные геодезические геометрии Шварцшильда, изображенные (схематически) в шварцшильдовских координатах. FF1 F"[см. (31.10)]— времениподобная геодезическая пробной частицы, которая начинает свое движение из состояния покоя при г = 5,2M и падает прямо внутрь, достигая за конечное собственное время сингулярности г = О (кривая с зубцами). Неудачный, характер шварцшильдовских координат проявляет себя двояко: 1) в том, что на некоторой части пути пробной частицы t уходит в бесконечность, и 2) в том, что после этого t уменьшается, в то время как т (не показано) продолжает расти. Поведение той же траектории до t = О можно получить путем отражения всей фигуры относительно горизонтальной оси («инверсия времени»). Образ точки F", полученный при обращении времени, обозначает выброс пробной частицы из сингулярности. AA' А"— времениподобная геодезическая, которая начинается в г = + с» и направлена внутрь. BB'В" — нулевая геодезическая, по которой движется фотон, падающий прямо внутрь (нет наивысшей точки; никогда не достигается состояние покоя!).
DD'D" — пространственноподобная радиальная геодезическая. То же относится к CC', в то время как E'Е"—времениподобна. Ни одна из этих двух последних геодезических никогда не пересечет г = 2М.
(Все вопросы по поводу этих геодезических, оставленные пока без ответа, разрешатся сами собой на фиг. 31.4, где те же мировые линии нанесены на диаграмму Крускала — Шекереса.)
Геодезическая Fhhb-Fhhb FF'F", описываемая уравнениями (31.10), начинается частицы из
, = 0 „Р„
затем она распространяется наружу с ростом собственного времени т, но с уменьшением координатного времени t до тех пор, пока не достигнет гравитационного радиуса
х/2 / 4М \ I1IM \1/2
5It 1J-гмакс(1 — --------)
' 'макс / \ гмакс /
После этого она продолжает двигаться наружу, но координатное время теперь растет от t = = —оо до того значения времени, когда геодезическая достигает максимального радиуса г — — гмакс ПРИ t = О, т=0 (событие F на фигуре); затем происходит падение внутрь, причем t продолжает расти до тех пор, пока геодезическая вновь не пересечет гравитационный радиус
с выброса
г = 2Л/ при (=- оо,
