Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Q(^)=\ *J-
Закон сохранения заряда в локальной форме имеет вид d*J = 0. Теорема Стокса связывает этот дифференциальный закон сохранения с интегральным законом сохранения
0=j d*J= { *J.
Этот закон представляет наибольпшй интерес, когда дТ = <SP2 — состоит из двух границ пространственно-временной области <^°2 (в будущем) и сTi (в прошлом); в этом случае он гласит Q (JP2) = -Q (°fі); см- упражнение 5.2.
в. Дуальным к тензору электромагнитного поля F является тензор *F.
Из уравнения Максвелла d*F = 4n*J находим, что 4nQ = 4л j *J =
S’
=W-Itp-
3. Еще раз простые формы
а. Форма, дуальная к простой форме, сама является простой.
б. «Коробка для яиц» формы *а перпендикулярна «коробке для яиц» формы а = о Д P Д ... Д Ц в следующем смысле:
1) возьмем произвольный вектор V, принадлежащий пересечению поверхностей о,
«а, V) = (0, V) = ... = <fi, V> = 0),
2) возьмем произвольный вектор W, принадлежащий пересечению поверхностей *о,
3) тогда VhW заведомо перпендикулярны друг другу: V-W = 0.
Пример. В пространстве-времени о = 3d* есть простая 1-форма.
а. *о= —3dx Д йу Д dz—простая 3-форма.
б. Общий вид вектора на поверхностях о:
V = F*e, + F% + F*e,-
в. Общий вид вектора на пересечении поверхностей *о:
W = WtBt.
г. W V = 0.
§ 4.2. Электромагнитная 2-форма и сила Лоренца 139
2
§ 4.2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ 2-ФОРМА И СИЛА ЛОРЕНЦА
Тензор электромагнитного поля F является антисимметричным тензором второго ранга (т. е. 2-формой). Вместо того чтобы разлагать его по тензорным произведениям базисных 1-форм
F = Fafidx® ® dxP,
во внешнем исчислении предпочитают разложение по антисиммет-ризованным тензорным произведениям («внешним ппоизведени-ям», упражнение 4.1):
F = -^-FafJdxeZVdxfr, (4.1)
dx® Д dx0 = dx“i<g> йх? — dxP ® dx®. (4.2)
Подобное разложение можно написать для любой 2-формы (антисимметричного тензора второго ранга). Символ «Д» называется «знаком внешнего произведения»; іха /\іх& — «базисные 2-формы» данной лоренцевой системы (см. § 3.5, упражнение 3.12 и дополнение 4.1).
Самый простой способ проиллюстрировать такое представление электромагнитного поля в виде 2-формы — рассмотреть магнитное поле в направлении х:
гF = —F —В
rZV-aXi , „
Ї = B3Ay^iz.
1-форма iy = grad у представляет собой совокупность поверхностей (точнее гиперповерхностей) у — 18 (все t, х, z), у = 19 (все t, х, z), у = 20 (все t, х, z) и т.д., а также поверхностей, которые можно провести между ними с помощью линейной интерполяции. Аналогичным образом можно представить и 1-форму dz. Пересечение поверхностей этих двух семейств образует сотоподобную структуру. Эта структура становится «2-формой», если ее снабдить указаниями (см. стрелки на фиг. 4.1), позволяющими найти «направление обхода» в каждой трубке таких сот (порядок сомножителей в «косом произведении» в уравнении (4.2); dy Д dz = — dz Д Д dy). 2-форма F в рассматриваемом примере отличается от «базисной 2-формы» Іу Д dz лишь в том отношении, что там, где Іу Д dz имеет одну трубку, 2-форма поля имеет Bx трубок.
Когда мы рассматриваем трубчатую структуру, которая закручивается и изгибается в пространстве-времени, для ее описания необходимо болыпзе число компонент. В общем случае 2-форму электромагнитного поля можно записать в виде
F = Ex ixf\it-\-Eu dl/Дdг-t-i?2dzДdf-f-+ Bxiyhiz+Byizhix + Btixhiy (4.4)
(6 компонент, 6 базисных 2-форм).
Выражение
для
электромагнитной
2-формы через
внешние
произведения
2-форма как соты, иа трубках которых задано направление обхода
2
140 4. Электромагнетизм и дифференциальные формы
2-форма
как машина,
производящая
число из
ориентированной
поверхности
Сила Лоренца как свертка электромагнитной 2-формы е 4-скороетыо частицы
1-форма — машина, призводящая число из вектора (удары колокола при последовательном прокалывании вектором поверхностей). 2-форма — машина, производящая число из ориентированной поверхности (поверхности с указанным направлением обхода: фиг. 4.1, справа внизу). Смысл этого числа так же прост, как в простейшей теории магнетизма,— число фарадеевых трубок, пересекаемых поверхностью. Электромагнитная 2-форма F, описываемая такой «трубчатой структурой» (в соответствующем абстрактном понимании; дополнение 4.2), реально существует и расположена в пространстве независимо ни от каких координатных систем и ни от какого искусственного разбиения на «электрическое» и «магнитное» поля. Более того, такие трубки позволяют дать наиболее непосредственную (из всех предложенных ранее) геометрическую интерпретацию тому, как электромагнитное поле действует на заряженную частицу. Рассмотрим частицу с зарядом е, обладающую 4-скоростью
Hxa ,,
U----ва. (4.5)
Пусть эта частица пролетает через область, где электромагнитное поле описывается 2-формой
T = BxAyhiz, (4.6)
представленной на фиг. 4.1. Тогда сила, действующая на частицу (трактуемая как 1-форма), равна свертке этой 2-формы с 4-скоро-стью (и зарядом):
P = df/dx = ef (u) г е (F, и). (4.7)
