Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мизнер Ч. -> "Гравитация Том 1" -> 52

Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.

Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация Том 1 — М.: Мир, 1977. — 480 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyatom11977.djvu
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 180 >> Следующая

2

144 4. Электромагнетизм и дифференциальные формы

в соответствие участку поверхности, пересекающему эту структуру, число. Картина силовых линий имеет то преимущество, что не заставляет думать о какой-то конкретной структуре «листов картона», т. е. о каком-то конкретном разложении 2-формы на произведение 1-форм. Однако именно эта особенность является и недостатком такой картины, так как при вычислениях часто бывает полезно иметь хорошо определенное представление 2-формы в виде косого произведения 1-форм. Более того, картина трубок даже в той абстрактной форме, которой она должна обладать, чтобы быть верной, имеет также то преимущество, что позволяет легко указать ориентацию трубок (направление обхода, указанное, например, стрелками на фиг. 4.1 и 4.5). Поэтому на всех рисунках этой книги мы будем изображать трубки со «стенками», которые будут напоминать нам о том, что 2-формы могут быть построены из 1-форм; но здесь и ниже всегда следует помнить, каким множеством способов можно выбрать отдельные 1-формы.

Перейдем теперь от трех измерений к четырем и покажем, что в этом случае понятие «сотоподобной структуры» должно стать еще более абстрактным. В трехмерном пространстве произвольность разложения 2-формы на 1-формы проявлялась в наклоне и упаковке «картонных стенок», но никак не сказывалась на вертикальности «отделений для бутылок» (направления фарадеевских силовых линий или силовых трубок); иначе обстоит дело в случае четырех измерений, или по крайней мере, в общем случае четырехмерного пространства.

В частных случаях в четырехмерном пространстве все обстоит почти так же просто, как и в трехмерном пространстве. Взяв опять в качестве примера частный случай 2-формы a = BAx Д d.v, мы имеем те же возможности разложения на 1-формы, которые уже упоминались выше, причем каждый выбор того или иного разложения приводит к одному и тому же «направлению» трубок. И если теперь слово «направление» вместо смысла «движение в направлении увеличения z не сопровождается пересечением стенок трубки» приобретает смысл «движение в направлении увеличения z, или в направлении увеличения t, или в направлении, представляющем линсйпую комбинацию этих двух направлений, не сопровождается пересечением стенок трубки», то это вполне естественное следствие появления лишнего измерения. Более того, та же простота существует и в случае плоской электромагнитной волны. Пусть, например, волна распространяется в направлении z, и пусть она поляризована так, что электрическое поле имеет составляющую лишь вдоль оси х; тогда для монохроматической волны имеем

Ex = By = E0 cosco(z — t) = -F01 - F31,

а все остальные компоненты равны нулю. Тензор электромагнитного поля F имеет вид

F=F01 it Д dx+F31dz Д dz = F0cosш(z — Оd(z — t) Д dz,

т. е. его также можно представить в виде одного косого произведения двух 1-форм.

Ho в общем случае это не имеет места. 2-форма общего вида в случае четырех измерений состоит из шести различных косых произведений

F = F0I it Д dz + F02 d? Д iy + . • • -f- F2з іу Д dz.

Было бы слишком оптимистичным надеяться, что это выражениес ведется в общем случае к одному косому произведению двух 1-форм («простой» 2-форме). И это действительно не так. Ho замечательно уже то, что эти шесть внешних произведе-
§ 4.3. Формы повволяют лучше понять электромагнетизм 1 45

2

структуру, подобную показанным на фиг. 4.1, 4.2, 4.4 и 4.5. Каждую такую структуру в отдельности можно изображать состоящей из пересекающихся поверхностей (1-форм), абстрагируясь при этом от таких деталей, как паклоп и упаковка этих 1-форм. При пересечении с элементом поверхности каждая такая структура даст число. Ho для 2-формы F имеет значение не число трубок я1 Д Iі, отсекаемых поверхностью, и не число трубок я2 Д I2, отсекаемых той же поверхностью, а лишь сумма этих двух чисел. Эта сумма и называется в тексте «числом трубок F », отсекаемых поверхностью. Вклад каждого косого произведения в отдельности не является строго определенным по простой причине: представление объекта из шести косых произведений в виде двух косых произведений (каким бы чудесным оно ни казалось) на самом дело не единственно (подробности см. в упражнении 4.2).

Имея в виду необходимость использования представления общей 2-формы в виде двух произведений 1-форм, отметим, что равенство нулю dF («нет магнитных зарядов») отнюдь не влечет автоматически равенство нулю d (я1 Д Iі) или d (я2 Д %2) по отдельности. Отметим также, что любое пространственноподобное сечение (переход от четырех измерений к трем) 2-формы F общего вида всегда можно представить в виде сотоподобной структуры («простая» 2-форма в трех измерениях; фарадеевская картина магнитных силовых трубок).

Несмотря на абстрагирование, к которому пришлось прибегнуть, рассматривая 2-формы в самом общем виде, нет никаких причин, препятствующих дальнейшему использованию термина «сотоподобная структура» в широком смысле для описания этих объектов, что и практикуется здесь и при дальнейшем изложепии.

§ 4.3. ФОРМЫ ПОЗВОЛЯЮТ ЛУЧШЕ ПОНЯТЬ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ, А ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ ПОЗВОЛЯЕТ ЛУЧШЕ ПОНЯТЬ ФОРМЫ
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed