Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Два уравнения
dF-OJ
и
d*F — 4«*J j
на геометрическом языке п лностью передают соде жание уравнений Максвелла. Для описания форм Fh *F = M можно выбирать любые координаты или язык (структуры, подобные сотам или «коробке для яиц»), вообще не использующий никаких координат. Замечательно то, что ни одно из уравнений не нуждается в понятии метрики. Для введения понятий формы и внешней производной метрика не нужна, как неоднократно подчеркивал Герман Вейль — один из самых горячих сторонников этой идеи (см. также гл. 8 и 9). Метрика появилась только в одном месте — в понятии дуальности («перпендикулярности»), когда мы перешли от F к дуальному объекту *F.
§ 4.6. ВНЕШНЯЯ ПРОИЗВОДНАЯ И ЗАМКНУТЫЕ ФОРМЫ
Понятия «соты» и «коробка для яиц» могли дать некоторое представление о геометрии, связанной с электродинамикой. Теперь мы попытаемся изложить эти понятия более четко и проиллюстриро-
2
Структура F: труб» вигде ие оканчиваются
Структура М: плотность распределения окончаний трубок дается 3-формой варяда-тока
Дуальность —
единственное
мсото в теории
алектромагнетна*
Mat где
появляется
метрика
2
156 4. Электромагнетизм и дифференциальные форми
вать в геометрических терминах на примере электродинамики, что подразумевается под «внешним дифференцированием». Обход вокруг границы? Да. Ho какой, почему и что из него вытекает? Полезно вернуться к функциям и 1-формам и взглянуть на них и на 2-формы F и M и на 3-форму *J как на члены упорядоченной последовательности (см. дополнение 4.4). Из дополнения аамтупи 2-форм 4.4 видно, что 2-формы бывают двух типов: 1) частный случай общём>01вида 2-форм —«замкнутые» 2-формы, обладающие тем свойством, что
число трубок, входящих под замкнутую 2-поверхность, равно числу трубок, выходящих из-под нее (внешняя производная 2-формы равна нулю; из нее нельзя получить другой 3-формы, кроме тривиальной, равной нулю!), и 2) общий случай 2-форм, у которых полное число трубок, пронизывающих замкнутую 2-поверхность, не равно нулю и которые позволяют определить нетривиальную 3-форму («внешнюю производную 2-формы»), содержащую внутри каждой замкнутой 2-поверхности ровно столько ячеек «коробки для яиц», сколько из-под этой поверхности выходит трубок первоначальной 2-формы (обобщение введенного Фарадеем понятия силовых трубок на случай пространства-времени, как плоского, так и искривленного).
Дополнение 4.4. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ФОРМ И ВНЕШНИХ ПРОИЗВОДНЫХ
0-форма, или скаляр /
Примером в случае 3-пространства и ньютоновской физики является температура T (х, у, г), а в случае пространства-времени — скалярный потенциал ф (t, х, у, z).
От скаляра к 1-форме
Вычислив градиент, или «внешнюю производную» скаляра /, получим частный случай 1-формы Y=d/. Замечания: а. Произвольная аддитивная постоянная, добавленная к /, при дифференцировании исчезает; значение п на фигуре неизвестно и неважно,
б. 1-форма у является частным случаем в том смысле, что поверхности из одной окрестности «зацепляются» с поверхностями из соседней окрестности («замкнутая 1-форма»), в. Интеграл по контуру JkSB ^ d/ не
зависит от пути интегрирования в классе траекторий, эквивалентных друг другу при непрерывной деформации, г. 1-форма представляет собой машину, производящую число («удары колокола» при каждом пересечении очередной интегральной поверхности) из смещения (аппроксимации понятия касательного вектора).
§ 4.6. Внешняя производная и замкнутые форми
157
2
1 -форма в общем случае P = Padzoc
Опа представляет собой конфигурацию поверхностей, иллюстрируемую на фигуре, т. е. машину, производящую число («удары колокола», <Р, U)) из вектора. Реальность существования 1-формы и ее положение в пространстве не зависят от выбора системы координат. Поверхности, как правило
не зацепляются. Интеграл | P по указанному
замкнутому контуру не равен нулю («ударов больше, чем антиударов»).
От 1-формы к 2-форме I = dP= da11 f\ix*
дх^
? представляет собой конфигурацию сотонодобных ячеек с указанным направлением обхода, размещенных таким образом, что число ячеек внутри замкнутого пунктирного контура совпадает с суммарным числом (разностью между ударами и антиударами), полученным при обходе того же контура на фигуре, иллюстри-рующеи Р. «Внешняя производная» определена таким образом, что это всегда выполняется; в этом состоит утверждение обобщенной теоремы Стокса. Слово «внешняя» обязано своим происхождением тому факту, что контур обхода расположен на краю рассматриваемой окрестности. Таким образом, 2-форма является машиной, производящей число (число трубок (?, и Д V)) из участка поверхности (U Д V), на котором указано направление обхода. Определенная таким образом
2-форма есть частный случай 2-формы в следующем смысле: резиновую пленку, «закрепленную по краю» пунктирным контуром или какой-либо другой замкнутой кривой, пересекает всегда одно и то же число трубок независимо от того, а) вспучивается ли она посередине, или б) продавливается посередине, или в) испытывает какую-либо другую непрерывную деформацию. 2-форма электромагнитного поля F, которую всегда можно выразить в виде F = dA (А = 4-потенциал, 1-форма), также обладает этим специальным свойствомУ(«сохранения трубок»).
