Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Ku ускорение приводит и шцчмшо
152 Электромагнетигм и дифференциальные формы
ФИГ. 4.6.
Механизм излучения. Принадлежащее Дж. Томсону объяснение того, что напряженность в электромагнитной волне падает обратно пропорционально лишь первой степени расстояния г и что амплитуда волны меняется (при малых скоростях) как sin 6 (максимум в плоскости, перпендикулярной линии ускорения). Сначала заряд двигался влево с постоянной скоростью. Силовые линии вдали от него продолжают двигаться так, как если бы постоянная скорость поддерживалась все время (кулоновское поде точечного заряда, движущегося с малой скоростью). Однако вблизи поле является уже полем точечного заряда, движущегося с постоянной скоростью вправо (напряженность вависит от расстояния как 1/г®). Переход от одной конфигурации поля к другой осуществляется в слое толщиной At, находящемся на расстоянии г от точки ускорения (усиление поля за счет «фактора растяжения» г sin 0Др/Дг, см. текст).
одна конфигурация, вне ее — другая, причем г равно времени («см пути, пройденного светом еа это время»), прошедшему с момента ускорения. Необходимость сшивания двух конфигураций в промежуточной зоне толщины Ar = At приводит к тому, что поле в ней нужно умножить на «фактор растяжения», пропорциональный г. Именно этим множителем обусловлен тот хорошо известный факт, что поле излучения спадает обратно пропорционально лишь первой степени расстояния (фиг. 4.6).
§ 4.5. Уравнения Максвелла 153
Если состояние движения заряда изменяется непрерывным образом, структура электромагнитного поля, будучи основанной на тех же простых принципах, которые иллюстрирует фиг. 4.В, имеет тем не менее более сложный вид. При этом 2-форма F для поля электрического диполя величины ри осциллирующего вверх-вниз параллельно оси z, имеет вид
F= Exix/\it+ ... +Bxdy/\dz+ ... =
= вещественная часть I pteie>r-ie>t |^2 cos 6 (-pgr) dr A d* +
дает Er
+ sm0(-i-5-^)rd9Ad* + sme(^—^)drArd0]} . (4.23)
' ¦' -V" ¦¦ ¦¦ - ¦¦¦- V ¦
дает Eg дает Вф
Дуальная 2-форма M *= *F в этом случае имеет вид
*F — —Bx da:А*— ... +ExйуAdz4" • • • =
= вещественная часть | P1Citar-ш sin г sin 0 Аф +
дает Вф
-|-2cos0^-^— г d0Arsin0d^-f-дает Ет
+sin6(^T--S|—Г") rsin0^Adr]). (4.24)
дает Ee
§ 4.5. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
2-форма F в общем случае записывается в виде суперпозиции косых произведений с множителем V2:
F = 4" d^14 Ad^v* (4.25)
так как каждый член встречается дважды: один раз в виде Fx„ix/\iy и второй раз в виде Fvxiy/\ix, причем Fyx= -Fxy и dyAdz= — dxAdy.
Если в результате дифференцирования («вычисления градиента», оператор d) скаляра получалась 1-форма, то дифференцирование (опять оператор d, но уже известный под названием «внешнее дифференцирование», введенным Картаном) 1-формы в общем случае приводит к 2-форме, дифференцирование 2-формы приводит к 3-форме, дифференцирование 3-формы приводит к 4-форме —
154 4. Электромагнетизм и дифференциальные формы
форме наивысшего ранга, которая может существовать в прост» ранстве-времени. Запишем /-форму в общем виде
Ф = тг<4«2.. d^Adx°*A.. .Adxe/, (4.26)
где коэффициенты . .оу. как и косые произведения, перед
которыми они стоят, антисимметричны по отношению к перестановке любых двух индексов. Тогда внешняя производная Ф равна
А дФа. а а
ЛФ= fLJ_l^d*“°Ad*aiA«l*a,.A • • • Adze'. (4.27)
Вычисление внешней производной F согласно этому правилу показывает, что она обращается в нуль не только в частном случае дипольного осциллятора, но и в случае электромагнитного поля самого общего вида. В координатах, соответствующих локально лоренцевой системе отсчета, имеем
dF = d (Ех AxAdf-I-... +.BsdyAdz+ • • •) =
+. . . (еще 5 таких скобок по 4 члена в каждой)... . (4.28)
Отметим, что такой член, как Ay A Ay A dz, тождественно равен нулю («коробка для яиц сплющивается, если на нее наступить»). Собрав не равные нулю члены, получаем
+(ж+тг-%)«Л*Л*+ +(тН-т!?-тИ*Лі*Л*. (4-29)
Каждый член в этом выражении уже знаком нам из уравнений Максвелла
div B = V-B = O
и
TOtJE = VX B= —В,
и все эти члены равны нулю. Таким образом, мы видим, что внешняя производная F обращается в нуль:
dF = 0. (4.30)
§ 4.6. Внешняя производная и гамкнутив формы 155
Другими словами, «F является замкнутой 2-формой», «трубки F нигде не оканчиваются».
Подобные вычисления приводят к следующему результату для внешней производной дуальной 2-формы М:
d*F = d (—Д* АгДік—... +^xdy/\dz+ .. .) =
+ №“lH"“ar) dfAdMdz+ • •• —
= An (рйх/\йу/\iz—Jxit/\йу/\йг —
—Jy At A dz A da:— Jz d* A da: Д dJ/) = 4я* J;
d*F=4n*J. (4.31)
Б пустом пространстве эта внешняя производная также равна нулю; в нем M тоже является замкнутой 2-формой, и трубки *F подобно трубкам F нигде не оканчиваются.
Иначе обстоит дело в той области, где есть заряд. В такой области берут свое начало трубки М. Плотность окончаний описывается
3-формой *J, представляющей собой «совокупность ячеек коробки для яиц», вытянутых (в четырехмерном пространстве-времени) вдоль мировых линий.
