Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мизнер Ч. -> "Гравитация Том 1" -> 44

Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.

Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация Том 1 — М.: Мир, 1977. — 480 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyatom11977.djvu
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 180 >> Следующая


Faby + Fb.* + Fya., = 0, Fa^t fi = AnJa

действительно сводятся к уравнениям Максвелла (3.26), (3.31), (3.34), (3.35), как утверждалось выше.

§ 3.5. ОПЕРАЦИИ НАД ТЕНЗОРАМИ

Необходимо сделать еще одно математическое отступление. По произвольному заданному полю тензора S, ранг которого тоже произволен (для конкретности положим его равным 3), можно с помощью различных операций построить поля новых тензоров.

Одной из таких операций является градиент V. (Символ d используется для обозначения градиента скаляров, тогда V/ = е d/, и «внешних производных дифференциальных форм»— понятие, определяемое в курсе 2, см. § 4.5.) Подобно S, VS является машиной. У нее четыре входных канала (если у S три). Она описывает изменение S от точки к точке. Точнее, если нужно узнать, как при смещении % изменяется число S (u, V, W), когда и, V, W фиксированы, то достаточно ввести u, V, W, % в четыре входных канала VS:

VS (и, V, W, |) = d{S(u, v, w) при фиксированных u, v,[w« ftf -J- [значение S (u, V, W) на острие |] —

— [значение S (u, V, w) на основании ?]. (3.39)

Записанное через компоненты в лоренцевой системе это соотношение принимает вид

dS

VS (u, V, W1 |) = дь (SapyuavVwv) = (—?*) uavPwV =

— Safiv, SUaV^W1^6.

Таким образом, компоненты VS в лоренцевой системе представляют собой не что иное, как частные производные компонент S. Отметим, что градиент повышает ранг тензора на единицу (с 3 до 4 в случае S).

Другой операцией, в результате которой из старого тензора образуется новый, является свертка. Она сводится к блокировке («свертке») двух входных каналов старого тензора, при которой его ранг понижается на две единицы. Точнее, если R — тензор четвертого ранга, a M является сверткой R по первому и третьему

УПРАЖНЕНИЕ

Способы обравоваиия новых тензоров BS старых:

Градиент

Свертка
I

Дивергенция

Транепозицяя

Симметризация а антноюшетри-аация

122 3. Электромагнитное поле

входным каналам, то на выходе M получается (по определению!) число

з

М(ч, у)= S R(ea. и, ю“, V). (3.40)

а=0

Здесь еа и юа — базисные векторы и 1-формы некоторой произвольной лоренцевой системы координат. He имеет никакого значения, какая выбрана система; результат всегда будет одним и тем же (упражнение 3.8 ниже). Записанное в компонентах в произвольной лоренцевой системе, выражение (3.40) принимает вид (упражнение 3.8)

M (u, v) = MvlvU11Vv = RanavUt1V4i

так что

.Mllv = -RaiijV* (3-41)

Таким образом, на языке компонент свертка равносильна размещению одного индекса вверху, а другого внизу с последующим суммированием по ним.

Дивергенция — третья операция образования новых тензоров из старых. Она выполняется следующим образом: сначала вычисляется градиент, затем входной канал градиента свертывается с одним из начальных входных каналов:

(дивергенция S по первому каналу) sV'S

это такая машина, что

V-S (u, V) = VS(®“, и, V, ea) = -SaPv. а«руу» (3.42)

т. е. компонентами V*S являются S*pv> а

Транспозиция — четвертая, довольно простая процедура для получения новых тензоров. Она сводится просто к перестановке двух каналов:

N получается транспозицией второго и третьего каналов S =Ф-

=>N(11, V, w) = S(u, w, v). (3.43)

Симметризация и антисимметризация представляют собой пятую и шестую операции, в результате которых образуются новые тензоры. Тензор совершенно симметричен, если его значение на выходе не зависит от перестановки двух векторов или 1-форм па входе:

S(u, V, w) = S(v, и, w) = S(и, w, V)= ... . (3.44а)

Тензор совершенно антисимметричен, если он меняет знак при каждой перестановке входных данных:

S(u, V, w)= — S(v, и, w)= -fS(v, w, и)= ... . (3.446)

Любой тензор можно симметризовать или антисимметризовать, построив соответствующую линейную комбинацию из него самого и его транспозиций (см. упражнение 3.12).
§ 3.5. Операции над тензорами 123

Косое произведение — седьмая операция образования новых тензоров из старых. Оно представляет собой всего лишь антисим-метрнзовапное тензорное произведение: если даны два вектора и и у, то их косое произведение — «бивектор» и Д V — определяется выражением

иДу^и ® у—V ® и; (3.45а)

подобным же образом из двух 1-форм образуется «2-форма»

® P — P <8> а. (3.456)

Из трех векторов и, У, W можно построить «тривектор»:

иДуЛш = (иЛ?)Дш = иЛ(?Дш) =

= U ® V ® w -f (члены, обеспечивающие совершенную

антисимметрию) =

= и] <g>.V <g> w-j-V ® и +W ® и О v —

— V <S> и О w — u<g>w<g>v — w <g> у <g> и. (3.45в)

Из 1-форм а, Р, у подобным же образом можно построить

«3-форму» аДРДу- Косое произведение позволяет очень просто проверять компланарность (линейную зависимость) векторов: если ииу коллинеарны, т. е. u = av, то

иДу=*ауДу = 0 (вследствие антисимметричности Д).

Если w компланарен и и у, т. е. w = au-f-bv («сплющенная

коробка»), то

шДиДу = аиДиДу-ЬЬуДиДу = 0.

Символ Д называется «знаком внешнего произведения». Его свойства исследуются в гл. 4.

Образование дуального тензора — восьмая операция построения новых тензоров. Она имеет фундаментальное значение в курсе 2 этой книги, но так как она не нужна в курсе 1, то ее определение и свойства рассматриваются лишь в упражнениях (3.14 и 3.15).
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed