Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Представим в геометрической форме поле точечного заряда е, покоящегося в начале координат. В плоском пространстве в сферических полярных координатах имеем
ds2 = —dx2 = g^vdxV-iby =
= — dt% + dr* + r2d02 4- r2 sin2 0d(p2.
(4.15)
Поскольку электрическое поле вдоль радиуса г равно Er = е/г2, отсюда следует выражение для 2-формы F
F = -I--Fnvte11Adzv= — Erit /\dr= — -^-it/\ir. (4.16)
Согласно упражнению 3.15, дуальной F является 2-форма M M = *F = esin0d0Ad<p, (4.17)
изображенная на фиг. 4.5.
§ 4.3. Формы поаеоляют лучше понять електромагнетизм 149
2
ФИГ. 4.5.
Поле 2-формы M= *F = « sin 0 d0 Д гіф, описывающей электромагнитное поле заряда е, покоящегося в начале координат. Изображенная картина на самом деле есть пересечение *F с 3-поверхностью фиксированного значения временнбй координаты t, т. е. временибе направление не представлено на фигуре.
Совершим обход в положительном направлении по замкнутому контуру, ограничивающему некоторый участок поверхности на сфере, показанной на фиг. 4.5. Число трубок *F, охватываемых этим контуром, в точности равно
/ число \ — е( телесный \
'трубок/ V угол /"
Полное число трубок *F, пронизывающих всю сферу, равно 4ле, что вполне согласуется с фарадеевой картиной силовых трубок.
Как определить конфигурацию трубок, связанную с заряженной частицей, движущейся с постоянной скоростью? Сначала выразим *F в прямоугольных координатах, движущихся вместе с частицей (координаты в этой системе отсчета, движущейся вместе с «ракетой», помечены чертой; используемые ниже координаты без черты относятся к лабораторной системе). Соответствующие этапы имеют вид
а) *F = в sin 0 d0 Д d<p =—e(dcos0^d<p;
б) f-arctgi, ?= uI-If1 ;
X X2-Ir у*
в) cos0=4-, —d(cos0) = -=^- + -^-(xda:-fi/di/ + zdz);
Г ГГ3
г) объединяя написанное, получаем
iy/\iz-\-yiz/\ix-\-zix/\iy) (4.18)
Поле движущегося точечного варяда
2
150 4. Электромагнетизм, и дифференциальные формы
(электромагнитное поле точечного заряда в декартовой системе, движущейся вместе с ним, сферически симметрично). Теперь выполним преобразование к лабораторным координатам:
параметр скорости а, скорость р = th а,
= cha, ¦ . =sha,
а)
1Л-Р2 іЛ-f
(J = Jcha-xsh а, X= —J sh a + х ch а, У = У, z = z;
б) г = [(х ch a — t sh а)2 + у2 + z*]^*;
в) *F = (e/r3) [(х ch а — t sh а) dy Д dz+у dz Д (ch a Ax—sh a d J) +
+ z(chadx — shadf)Ady]; (4.19)
г) сравнивая с дуальной 2-формой в общем виде
*f = Exiy/\iz + Evizf\ix + Ez йх/\іу +
+ Bxit/\ix+Bvit/\iy + Bzit/\iz,
получаем выражения для искомых отдельных компонент поля:
{Ex = (elr3)(x ch a — J sha), Bx = Ot
Eu = (e/r3) у ch a, Bu= — (e/r3) z sh a, (4.20)
Ez = (e/r3) zcha, Bz = (в/г3) у sh a.
Легко убедиться, что значения инвариантов
B2 -JE?2 = ^FafiF**, (4.21)
(4.22)
в лабораторной системе и в системе ракеты, как и требовалось, совпадают. Отметим, что сама сотоподобная структура дифференциальной формы при переходе не системы ракеты в лабораторную систему не изменяется. Меняется лишь математическая формула, которая ее описывает.
Дополнение 4.3. ДУАЛЬНОСТЬ 2-ФОРМ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ
Если имеется 2-форма общего вида (содержащая шесть внешних, или косых, произведений)
ї=Ехйх /\йі + Е„йу Д dJ+ ... +Bz d*A dy,
§ 4.4. Поле излучения 151
2
то дуальная к вей («перпендикулярная») 2-форма задается выражением *F— -Bxйх Д dt— ... +Eviz /\йх + Егйх Д Ay.
Дуальные повороты
Отметим, что двукратное применение дуальности восстанавливает первоначальную 2-форму с обратным знаком:
**F=— Z?xda:A d*—... — Вгйх Д dу = — F.
В этом смысле символ * обладает тем же свойством, что и мнимая единица і: ** = = ii = —1. Поэтому можно написать
е*а = cosa + *sin a.
Применяя эту операцию к F, мы из 2-формы общего вида в простейшем представлении (см. упражнение 4.1)
?=*Ехйх к& + Вхйу /\iz
получаем «дуально повернутое электромагнитное поле»
e*“F = (Ex cos а—Bx sin a) dx Д At + (Bx cos a +Ex sin a) d# Д dz.
Если начальное поле удовлетворяет уравнениям Максвелла в пустоте, то им удовлетворяет и новое поле. Соответствующим выбором «угла дуального поворота» а можно занулить одно из двух косых произведений в любой, заранее выбранной точке пространства-времени, после чего второе приобретает вид
(Bl + E2xf*iy/\ dz.
§ 4.4. ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ
Структура M (представленная в виде трубок), соответствующая равномерно движущемуся заряду, имеет гораздо больше замечательных свойств, чем может показаться с первого взгляда, даже если принять во внимание лоренцево сокращение трубок в направлении движения. Движение трубок, расположенных как угодно далеко, находится в строгом соответствии с движением заряда, на котором они оканчиваются, несмотря на отсутствие времени, за которое информация, «испущенная» зарядом в данный момент, могла бы достигнуть в данный же момент удаленной трубки. Следовательно, конфигурация удаленных трубок в данный момент должна обусловливаться состоянием заряда в более ранний момент его равномерного движения по прямолинейной траектории. Это обстоятельство нигде не проявляется так четко, как в изменении, которое претерпевает поле в результате внезапного (за короткое время At) перехода от движения с одним значением постоянной скорости к движению с другим значением постоянной скорости (фиг. 4.6). Конфигурации трубок в обоих состояниях движения соответствуют равномерному движению: внутри сферы радиуса г
