Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
ос = Я|ii., .Jp і (ж*, . • •, х ) dx’1 Л •. •, йх*р
по р-мерной поверхности — производится в два этапа.
а. Подставим в а параметрическое представление поверхности
Xk (V.....X*)
и приведем сумму к виду
a = a (Jj)Hkt ^ ... AdXp
(а представлена как р-форма на р-мерной поверхности).
б. Проинтегрируем
J a = j a(X’)dVdX2...dXp,
использовав обычное определение интегрирования. [Пример. Cm. уравнения (4.12) — (4.14).]
3. Дифференциальная геометрия интегрирования Вычислим J а от р-формы а следующим образом.
а. Выберем р-мерную поверхность по которой нужно взять интеграл.
б. Представим & в параметрическом виде в соответствии с общим представлением о поверхности как о функции параметров Si (Я1, Я.2, . . ., Ap). При этом фиксируется ее ориентация. Ta же функция с Я1 •*-»- Я®, аР (А,2, А.1, . . ., кр) описывает другую (противоположно ориентированную) поверхность
в. Бесконечно малый параллелепипед
М» Л (?-">) Л... л (?-4*)
касается выбранной поверхности. Число ячеек а, которые он отсекает, равно
При перестановке двух векторов StPIdXh это число меняет знак подобно тому, как и при изменении ориентации поверхности на противоположную.
г. Интерпретация, вытекающая из сказанного выше, приводит к следующему определению:
j а - J J... { <а, ^ Л-S-Л ¦ ¦ ¦ Л^ . Л-.
2
136 4. Электромаанетивм и дифференциальные формы
Это определение в упражнении 4.9 отождествляется с правилом вычисления интегралов предыдущего раздела (В.2).
Приложение: Проинтегрируем градиент if вдоль кривой Hi (X) от Si (0)
д. Использование символа d в трех разных значениях. Первое: d (светлое) в явных выражениях для производных, таких, как d/da, df/da или dtP/da; числитель и знаменатель по отдельности лишены смысла, смысл имеет лишь вся совокупность символов. Второе', d (светлое) под знаком интег-
рала, например I fda. В данном случае это лишь указание, как выпол-
нять интегрирование, и символ d лишен всякого смысла без знака интег-
рала; « j . . . d . . .» существует как единое целое. Третье: d (жирное),
например d отдельно, или if, или da. Теперь этот символ означает внешнюю производную, которая превращает р-форму в (р -f 1)-форму. Иногда для той же цели употребляется d (светлое). Следовательно, отдельное d, или df, или dx, всегда означает внешнюю производную,
если им не сопутствует знак I (второе значение) или знак / (первое
значение).
4. Обобщенная теорема Стокса (см. дополнение 4.6)
а. Пусть дТ — замкнутая р-мерная граница (р + 1)-мерной поверхности У', а а — р-форма, определенная на всей Т. Тогда
(интеграл от р-формы о по границе поверхности TT равен интегралу от (р + D-формы do по самой поверхности У).
б. Чтобы получить правильный знак, необходимо согласовать ориентации У' и дТ в следующем смысле: выберем координаты у0, у1, . . ур на некотором участке У таким образом, чтобы у0 ^ 0 выполнялось на Ty а у0 = 0 — на границе Sfr; тогда ориентации
до Si (1):
I 1
QyO Л Qyi А • ' -Л Qyp
на T должна соответствовать ориентация
а.* «Є.Л...Л-ЄІ
д . д&>
dyi А • • ' Qyp
на дТ.
§ 4.1. Внешнее исчисление 137
2
в. Примечание: В случае неориентируемой поверхности, например кольца Мёбиуса, когда невозможно непротиворечивым образом выбрать непрерывную ориентацию, требуется более сложный математический аппарат, чтобы дать определение «5», для которого выполняется теорема Стокса. Приложения. Частными случаями данной теоремы являются все интегральные теоремы для поверхностей любой размерности в пространствах любой размерности, как с метрикой, так и без нее; она является обобщением всех форм теорем Стокса и Гаусса.
Примеры:
a. T — кривая, &Т — ее граничные точки, o—f—0-форма (функция): і
fd/ = \(df/dX)dX= J / = /(1)-/(0).
ф о дул>
б. У — 2-поверхность в 3-пространстве, дТГ — ее граница в виде замкнутой кривой, V — 1-форма; в эвклидовых векторных обозначениях интегралы принимают вид
j dv = С (V х v)-dS, Г V=C v-dl.
cV0 4° gfo
в. Другие приложения содержатся в § 5.8, 20.2, 20.3, 20.5 и в упражнениях 4.10, 4.11, 5.2 и ниже.
Алгебра Il (применима в любом векторном пространстве с метрикой)
1. Норма р-формы
IlаII2 —aMi...IpI0fil "ір
Два приложения. Норма 1-формы равна квадрату ее длины || а ||® = a a. Норма электромагнитной 2-формы F: || F ||2 = B2 — E2.
2. Объект, дуальный р-форме
а. В «-мерном пространстве объектом, дуальным р-форме а, является (п — р)-форма *а с компонентами
б. Свойства дуальных объектов
**a = ( — IJp-1Ot в пространстве-времени; а Д *ое = К се H2 в в общем случае.
в. Примечание. Определение е (упражнение 3.13) влечет в качестве следствия ориентацию пространства, т. е. 1) выбор «правых» ортонормиро-ванных базисов, 2) для которых е (в|, . . ., е„) = + 1.
Приложения:
а. Для / (0-форма) имеем */ = /еи ^ fd (объем) = j */¦
138 4- Электромагнетизм, и дифференциальные формы
б. Дуальной к 1-форме заряда-тока J является 3-форма *J. Полный заряд Q на участке & 3-мерной гиперповерхности равен
