Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
(Отметим, что в «-мерном пространстве е аналогично является совершенно антисимметричным тензором ранга п. Его компоненты задаются выражением
ei2...n = e(elt в2, ..., е„)= + 1 (3.50в)
в «положительно ориентированном» ортонормироЕанном базисе ®і» • • • > вп.)
а. Воспользовавшись антгсимметричностью, покажите, что
eupv6 = 0, если среди а, р, у, б есть два одинаковых индекса,
(3.50г)
{-f 1 для четных перестановок 0, 1, 2, 3,
— 1 для нечетных перестаноьок. (3.50д)
б. Покажите, что
ел0я№л3= Ея0я1я jJtj- (3.50е)
в. С помощью преобразогания Лоренна покажите, что e“Pve
и e-p-g имеют те же значения в любой другой лоренцевой системе, в которой направлен в будущее, а е^, е^, —правая
тройка. Указание-. Покажите, что
е«э?6л\лгэл Ve = det’U А\ II; (3.50ж)
3.5. Операции над тензорами 127
I
использовав AtTjA = T], покажите, что det || A11v || = ± 1, и удостоверьтесь, что детерминант равен +1 для преобразований между системами, у которых е0 и направлены в будущее, а в], B2, B3 и Bj1 в^, Bj—правые тройки.
г. Чему равны компоненты е в лоренцевой системе с ву, направленным В прошлое? С левой тройкой Bj, Bjj. Bj?
д. Исходя из тензора Лєеи-Чивитьі можно построить различные «тензоры перестановок». В индексных обозначениях они имеют вид
6“%vx =-BaPweiivxp,
6afVv = -і 60^vx =-4" ^«Wp,
= _4-е«ЭХРС^р.
Покажите, что
{+I, если apY—четная перестановка цгЯ,
-1, если apY — нечетная перестановка fivA,,
О в остальных случаях;
6^=6^-6^6^ =
+ 1, если оф — четная перестановка [iv,
— 1, если ар — нечетная перестановка цг,
О в остальных случаях;
g« _ f +1* если a = fA> wI Ob остальных случаях.
3.14. Дуальные тензоры
Для любого вектора J, любого антисимметричного тензора второго ранга F (Fap = ^faP]) и любого антисимметричного тензора третьего ранга B(5apv = 5[ap.y]) можно построить новые тензоры, определяемке раЕенствами
Vapv= JVpT, ^aP = Y ^VaP- *Ва =-Bx^xiiva. (3.51)
Тензор M называется «дуальным» тензору J, *F — дуальным F, *В — дуальным В. [Выше (в § 2.7) слого «дуальный» было употреблено совсем в другом смь сле: ссеокупнсстъ базисных 1-форм {юа} была названа дуальной совокупности базисных векторов {ва}, если (©«, ер) = 6ар. К счастью, нет никаких оснований путать два типа дуальности. Один рз них устанавливает соотношение между совокупностью векторов и совокупностью 1-форм, другой — между антисимметричными тензорами ранга р и антисимметричными тензорами ранга 4—р.]
(3.50з)
(3.50и)
(3.50к)
(3.50л)
(3.50м)
(3.50н)
УПРАЖНЕНИЯ
I
128 3. Электромагнитное поле
УПРАЖНЕНИЯ
а. Покажите, что
**J = J, **F= —F, **В= В, (3.52)
т. е. любой совершенно антисимметричный тензор H можно (с точностью до знака) восстановить из дуального ему тензора *Н, применив еще раз дуальность **Н. Это говорит о том, что H и *Н содержат абсолютно одинаковую информацию.
б. Продемонстрируйте в явном виде тот факт, что дуальные тензоры содержат одну и ту же информацию, расписав компоненты Mapv через Aa, а также ¦/г’®1* — через Fa^ и *Ва — через Ba^y.
3.15. Геометрическая форма уравнений Максвелла
Пусть F — тензор электромагнитного поля. Покажите, что V • *F = О представляет собой геометрическую, не зависящую от системы координат, форму уравнений Максвелла:
Pар, у ~f" ^Pv. OL “Ь PYOC, P=O.
Аналогично покажите, что V-F = 4nJ (дивергенция по второму каналу F) представляет собой геометрическую форму уравнений В**. э = 4я/“.
3.16. Сохранение заряда
Выведите из уравнений Максвелла Fa^ щ р = 4л/“ «уравнение сохранения заряда»
Ja (а = 0. (3.53)
Покажите, что это уравнение действительно описывает сохранение заряда. Дальнейшее его изучение проводится в гл. 5.
3.17. Векторпый потенциал
Векторный потенциал А в теории электромагнетизма генерирует тензор электромагнитного поля посредством уравнения
F=—(антисимметричная часть VA), (3.54)
т. е.
^uv = (3.54)
а. Покажите, что электрическое и магнитное поля в определенной лоренцевой системе задаются выражениями
B = VXi, E=—dA/dt — VA°. (3.55)
б. Покажите, что F удовлетворяет уравнениям Максвелла тогда и только тогда, когда А удовлетворяет соотношению
Аа’ **_ H-A11ill'*= — 4я/“. (3.56)
§ 3.5. Операции над теняорами 129
I
в. Покажите, что при «калибровочных преобразованиях» упражнения
Авовое = AcTapoe + d<f>, ф — произвольная функция, (3.57)
F не изменяется.
г. Покажите, что калибровку можно выбрать так, что
V*A = 0 («лоренцева калибровка»), (3.58а)
? А— — AnJ. (3.586)
Здесь ?—волновой оператор («даламбертиан»):
Uk = Aa' “,ива. (3.59)
3.18. Дивергенция электромагнитного тензора энергии-импульса
Исходя из тензора электромагнитного поля F, можно следующим образом построить симметричный тензор второго ранга T («тензор энергии-импульса», рассматриваемый в гл. 5):
= ( ****”«~Т ^vFatiFafi). (3.60)
В качестве упражнения по «жонглированию индексами»:
а. Покажите, что V-T имеет компоненты
Т*\ V = 4jr [Ftia. VF\ + FvaFva, v-4 Fa9' tlFep]. (3.61)
