Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Непосредственным вычислением, действуя по очереди каждым из двух сомножителей 2-формы на касательный вектор и, получаем
p = eBx(iy/\iz, u) = eBx{iy{iz, и)—dz<dy, и)} =
= еВх{ду{dz, иге2>—dz<dy, и^е*)},
ИДИ
ра dz“ = eBxuz d у—eBxuv dz. (4.8)
Сравнивая коэффициенты при различных базисных 1-формах
в правой и левой частях этого уравнения, мы получаем в подробном виде силу Лоренца, обусловленную магнитным полем В
Xm
* dPv _ -р * Pv- dT —еВ*~її>
* dpz _ -Tt dy Pz diJ * dx
(4.9)
Эти рассуждения легко распространить на общий случай электромагнитного поля, откуда следует вывод: скорость изменения им-
§ 4.2. Электромагнитная 2-форма и сила Лоренца 141
di л d.-
iii ^ ^Si $2 Si аШ№Ш«№№В
В dyA dr
ФИГ. 4.1.
Построение 2-формы электромагнитного поля F = Вхіу Д dz из 1-форм Лу и dz с помощью «косого умножения» (построение сотоподобной структуры, направление обхода которой указано стрелками). 2-форма представляет собой «машину для образования числа из ориентированной поверхности» (иллюстрацией служит выбранная в качестве образца поверхность, окаймленная стрелками, в правом нижнем углу; число трубок, пересекаемых этой поверхностью, равно
j F-18-.
по этой поверхности
налицо связь с фарадеевской концепцией «магнитного потока»). Такую трактовку 2-формы можно связать с трактовкой тензора как машины, гл. 3, следующим образом. Форма ориентированной новерхности, по которой берется интеграл от F, не играет роли, если эта поверхность мала. Интеграл от F зависит только от площади поверхности п ее ориентации. Возьмем два вектора и и », принадлежащие поверхности. Они являются ребрами параллелограмма, ориентация (за и следует v) и площадь которого выражаются внешним произведением и Д V. Подберем длины и и v так, чтобы опирающийся на них параллелограмм U Д V имел ту же площадь, что и поверхность интегрирования. Тогда
по поверхности
иД»
трактовка данной главы Упражнение. Получите этот результат для бесконечно малой поверхности U Д у н F в общем виде, используя формализм дополнения 4.1.
142 4. Электромагнетизм и дифференциальные формы
Свертывается с
и + t
ФИГ. 4.2.
2-форма электромагнитного поля F представляет собой машину, производящую 1-форму (скорость изменения во времени импульса заряженной частицы
р) из касательного вектора (произведение 8аряда частицы е на ее 4-скорость и). В пространстве-времени 2-форма общего вида является «суперпозицией» (см. дополнение 4.2) двух структур, подобных той, которая изображена в верхней части фигуры, причем наклон и упаковка трубок первой из них совпадают с указанными на фигуре, а трубки второй наклонены в другом направлении и имеют другую плотность упаковки.
§ 4.2. лектромагнитная 2-форма и сила Лоренца 143
пульса (1-формы) со временем равна заряду, умноженному на свертку ? с 4-скоростью. На фиг. 4.2 иллюстрируется, как 2-форма F
выступает в роли машины, производящей 1-форму р из касательного вектора ей.
Дополнение 4.2. КАК АБСТРАГИРУЯСЬ ОТ ПОНЯТИЯ «СОТОПОДОБНОЙ СТРУКТУРЫ» ПРИЙТИ К ПОНЯТИЮ 2-ФОРМЫ; СЛУЧАЙ 3-ПРОСТРАНСТВА И ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ
Откройте картонную коробку, содержащую дюжину бутылок, и посмотрите на сотоподобную структуру, которую образуют картонные стенки между бутылками, разделяющие ящик в направлении с севера на юг и с востока на запад. Такая сотоподобная структура из «трубок» («отделений для бутылок») является довольно хорошей иллюстрацией 2-формы в случае обычного 3-пространства. Каждому гладкому элементу 2-поверхности, пересекающему эту трехмерную структуру, ставится в соответствие число (число пересекаемых трубок). Однако пересекающиеся картонные стенки — это уже излишняя конкретизация. Все, что может дать настоящая 2-форма,— это лишь число пересекаемых трубок, но не их «форму». Поверните коробку на полу на 45°. Теперь разделительные стенки идут с северо-запада на юго-восток и с северо-востока на юго-запад, но число трубок, проходящих через данный участок 2-поверхности, фиксированной в 3-пространстве, при этом не меняется. Поэтому, пользуясь понятием трубок, следует быть внимательным и представлять себе эти трубки в достаточно абстрактном виде, т. е. имея в виду их направление (в данном примере вертикальное) и плотность, но отнюдь не конкретное расположение и ориентацию их стенок. Например, все приведенные ниже представления описывают одну и ту же 2-форму о:
а = Вйх Д iy, o = B(2ix)f\(\iy)
(картонные стенки, направленные с севера на юг, расположены в два раза чаще, чем в предыдущем случае, а направленные с востока на запад — в два раза реже);
(стенки повернуты на 45°);
— д ads+pdy д yda:+6dy
(a6-Pv)1/2 (a6-Pv)l/2
(ориентация и расположение картонных стенок меняются от точки к точке, так как все четыре функции а, р, "у и б зависят от точки).
Физической реальностью обладает не каждая из 1-форм, взятая в отдельности, а лишь сама 2-форма а, которая и образует реальный геометрический объект. Это обстоятельство помогает объяснить, почему в литературе по физике иногда говорят о «силовых трубках», а иногда о «силовых линиях». У этих двух терминов, обозначающих одну и ту же структуру, общим является' то, что оба они ставят