Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Всю теорию электромагнетизма можно сформулировать на языке 2-форм — сотоподобных «структур» (в абстрактном смысле «структур» дополнения 4.2) из трубок, заполняющих все пространство-время,— как в случае плоского, так и в случае искривленного пространства-времени. Кратко можно сказать, что имеются две такие структуры: F и M = *F, дуальные друг другу («перпендикулярные» друг другу — единственное место, где в раесмотрепие вводится метрика). Каждая из них удовлетворяет простому уравнению
dF = О
(«трубки F нигде не оканчиваются») и
d*F = 4n*J
(4.10)
(4.11)
10-01457
2
Предварительный ооаор основных положений алектромагветив-ма
2-форма как иашнпа о числом пересекаемых трубок на выходе
Пример
пересекаемых
трубок
146 4* Электромагнетизм и дифференциальные формы
(«число трубок М, оканчивающихся в элемептарном объеме, равна электрическому заряду этого объема»). Чтобы подробнее ознакомиться с применением этого аппарата на практике, рассмотрим последовательно: 1) определение 2-формы; 2) как данное электромагнитное поле находит свое выражение в виде F и М; 3) структуру M для покоящегося точечного заряда; 4) то же для движущегося точечного заряда; 5) характер поля заряда, движущегося равномерно, за исключением короткого промежутка времени, в течение которого он ускоряется; 6) структуру F для поля осциллирующего диполя; 7) понятие внешней производной; 8) уравнения Максвелла на языке форм; 9) решение уравнений Максвелла в плоском пространстве-времени с использованием 1-формы А, по которой можно вычислить 2-форму F Лиенара — Вихерта из соотношения F = dA.
Как показано на фиг. 4.1, 2-форма является машиной, производящей число («число пересекаемых трубок») из любой «ориентированной 2-поверхности» (2-поверхности, на которой указано «направление обхода»)
/число пересе- \ _ Г
\ каемых трубок / J
F.
(4.12)
поверхность
Рассмотрим в качестве примера 2-форму, изображенную на фиг. 4.1,
F = Bx dyAdz,
и возьмем в качестве поверхности интегрирования участок поверхности 2-сферы .г2 + уг + Z2 = a2, t = const, заключенный между
0 = 70° и 0 = 110° и между ер = 0° и ф = 90° («атлантический район тропиков»). Запишем
у = a sin 0 sin ф,
z = a cos 0,
Лу = a (cos 0 sin ф d0 + sin 0 cos ф гіф),
dz = —a sin 0d0,
dy A dz = a2 sin2 cos ф d0 Д гіф. (4.13)
Структура d0 A d0 выглядит как «сплющенная коробка для яиц» (фиг. 1.4, справа вверху) и имеет нулевую вместимость — факт, которой формально очевиден из того, что <*ЛР ~ — PA® = 0, если a^f). При постоянном Bx результат интегрирования имеет вид
110« 90°
j F = O2Z?* J sin20d0 j cosфгіф. (4.14)
поверхность
70е
Чисто электрическое поле гораздо труднее наглядно представить по соответствующей ему 2-форме F (фиг. 4.4, слева), чем чисто
§ 4.8. Формы поаеоляют лучше понять алектромагнетиам 147
ФИР. 4.3.
Пространственноподобные сечения электромагнитной 2-формы F — геометрического объекта, представляющего собой сотовую конфигурацию трубок, заполняющих все пространство-время («сотовую» в абстрактном смысле, сформулированной более точно в дополнении 4.2). Поверхности на фигуре не похожи на 2-форму (соты), так как второе семейство поверхностей, образующих соты, простирается в том пространственном направлении, которое невозможно изобразить на фигуре, a — пространственноподобное сечение 2-формы (ось времени направлена вверх), б — проекция 2-формы на эту пространственноподобную гиперповерхность, которая в данной трехмерной геометрии представляет магнитные силовые трубки Фарадея (если добавить недостающее измерение, то трубки станут действительно трубками, а не полосками с линиями в качестве границы), в — другое пространственноподобное сечение (гиперповерхность одновременных событий для наблюдателя в другой лоренцевой системе), г — конфигурация магнитных трубок в этой системе отсчета, сильно отличающаяся от предыдущей. Потребовав, чтобы в каждом пространственноподобном сечении F магнитные силовые трубки нигде не оканчивались (V -В = 0), мы получаем соотношение dBldt = —V X -К, которое должно выполняться всюду. Таким образом (магнитостатика) + (ковариантность)->¦ (магнитодинамика). Подобным же образом, см. гл. 17 и 21, имеем: (геометростатика) + (ковариантность) -> (геометродинамика).
10*
2
148 Электромагнетизм и дифференциальные формы
У>г
ФИГ. 4.4.
Структура F
F=1 Fllvйх» Л div = -|- FOi it Л dx -u IF10 d* Д d<=?* d* Д d<,
соответствующая электрическому полю в направлении х, и дуальная («перпендикулярная») сотоподобная 2-форма M
* =4*^v*** Л d*v-V*3d*a/\d*»-
= ^Ol $хг д (Jar3 = ^ioda:2 Д dx3 = /?,^ /Vdf.
Конфигурация трубок дуальна* структуры M в олучае покоящегося точечного заряда
магнитное поле по соответствующей ему 2-форме F (фиг. 4.1—4.3). He существует ли какой-нибудь метод рассмотрения, при котором эти поля более равноправны? Да, такой метод есть, и чтобы им воспользоваться, нужно построить 2-форму *F (фиг. 4.4, справа), дуальную («перпендикулярную»; дополнение 4.3; упражнение 3.14) F.
