Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
aCtp = “ар + 1*ра)ва - {ёаа)0р-а 2-формы кривизны перенормируются по правилу ^aP = Пар + 2&уё[ро)0Г Л OaJ +
+ (еуа) (етст)Sr0 л вр + 21еуо)9Л S3 _
- 2 lfiya) (ё^ро)дд] А в"1.
Если, пользуясь операцией дуального сопряжения (§ 1.3), ввести четверку 1-форм Риччи
Rp = RpyB7 = * (ва А * Clgp)
и записать скалярную кривизну в виде R - - « {ва А * Ra) = * (0® А * SlaP
22
то можно построить инвариантную относительно конформной перенормировки 2-форму Вейля
wOfi = nOp + (1/2) {ваАЯр - 0ParJ “ 11/6)Ява А eP• (1-52)
Определяющий ее тензор, естественно, также инвариантен относительно конформной перенормировки; его называют тензором конформной кривизны Вейля. Кроме обычных алгебраических свойств тензора Римана— Кристоффеля, он обладает равным нулю аналогом тензора Риччи (одна свертка),так что параллельно (1.50) можно записать:
Некоторым монотонным образом параметризуя точки вдоль кривой, можно определить касательный к ней вектор как и = d/cfk, Jl - d^/cfK, причем канонической называют такую параметризацию, чтобы квадрат касательного вектора вдоль кривой не изменялся. Каноническим парамет-ром вдоль неизотропной кривой является, в частности, / V± 1 ¦ Если
кривая геодезическая, она описывается уравнением
(при неканоническом параметре X справа следует добавить член f(x)u) . Иначе это уравнение можно переписать в виде
Другой важный класс кривых — интегральные кривые поля вектора Киплинга, определяемого уравнением ?д=0 или, что то же,
Эти уравнения называют уравнениями Киллинга (их исследование см. в [163, 106, 58]). Если в данной области пространства-времени существует киллингова конгруэнция, то в ней можно ввести такую систему координат, что компоненты метрического тензора (в координатном базисе) не будут зависеть от одной из координат (назовем ее х*; ее линии совпадают с линиями киллинговой конгруэнции). Действительно, из уравнений Киллинга (1.58) следует:
Если направить координатные линии х> вдоль киллинговой конгруэн-
(1.53)
и
-Wa0AeP - 0.
(1.54)
1.5. ГЕОМЕТРИЯ КОНГРУЭНЦИЙ [111,148,581
(1.55)
DufxZdX= 0; tP.y = 0,
t V
(1.56)
или
(1.57)
(1.58)
23
ции, а параметризовать их так, что ^ =8g, то высказанное утверждение непосредственно реализуется. Пусть в одной области существуют два киллинговых поля, ? и г/; тогдё возможность достижения независимости компонент метрики сразу от двух координат (в коордитаном базисе) с необходимостью и достаточностью зависит от обращения в нуль коммутатора этих полей.
Конгруэнция в 4-мерном многообразии определяется семейством линий, зависящих от 3 параметров (кроме параметра X вдоль самих линий). Рассмотрим сначала только один добавочный параметр (X, о). Тогда в точках, принадлежащих линиям, определяются два вектора: и = Э/ЭХ и W = Э/Э а. Независимость параметров X и а проявляется в коммутативности частных производных по ним; тогда [и, w| = ? W = 0. При этом
и
X и а можно рассматривать как координаты на 2-мерном многообразии, которое покрывают интегральные линии полей и и w. Если линии и геодезические (1.55), и так как [см. выше и (1.38)] VwU-Vu w, получаем R (uf w)u = V Vuw из определения оператора кривизны. Полученное уравнение называют уравнением девиации геодезических (уравнением Якоби) и записывают в компонентах как
rc1Pi8u^w8 = Ю2/дХ2) wa. (1.59)
Перенос вектора вдоль некоторой линии определяется его измененном при этом переносе:
Обозначения здесь очевидны. Считается, что вектор v образует поле, т. е. в точке Qt куда его переносим из точки P, уже имеется некоторое его конкретное значение (vQ). Простейшим является параллельный перенос, сохраняющий абсолютное значение вектора и углы между векторами (если переносится более одного вектора). Параллельный перенос определяется уравнением bv =- VfVdX и если есть поле вектора v , которое разнесено параллельно вдоль направления ut ToVt/ и = 0. Однако параллельный перенос — не единственный вид переноса, сохраняющий указанные характеристики. Укажем здесь перенос Ферми—Уокера, при котором
bv = ~[vuv + eu(v • v jj) — є vjj(u • v)]dk, el = и • и. (1.60)
Такой перенос также определен вдоль заданной кривой, причем здесь автоматически сохраняется угол между переносимым вектором и касательным вектором к кривой, так что, в отличие от параллельного переноса, изменение касательного вектора к кривой переноса при переносе Ферми—Уокера тождественно равно нулю. Примем
vfv : = Vv + е[ (у • V и)и — [v •> и) vjj]. (1.61)
Тогда справедливо тождество при действии на скалярную функцию:
_ Э
откуда ясно, что если vF v = vuF w = О, то (Э/ЭХ) (v • w) = 0, а также если и • V = 0, то и и • V =0. Обозначим () = Vu. Тогда, используя
операцию проектирования на локальное подпространство, ортогональное конгруэнции и,
Pu = g ~ ей Q и (1.62)
(в случаях, не вызывающих сомнений, будем писать простор), приходим к уравнению типа Якоби (1.59):
vFu vfuv = R (и, v)u + pu(v vti) + (v • й)й. (1.63)
Замечание: перенос Ферми—Уокера определен лишь для неизотропных
