Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, с математической точки зрения система отсчета — это временноподобная конгруэнция, построенная (или постулируемая) в данной области пространства-времени. Ей соответствует поле касательного вектора, который может быть повсюду нормирован на единицу и тогда называется монадой (обозначается через г). Теория таких конгруэнций и векторных полей дана в § 1.5, 1.6. Там показано, как определяются для таких (и более общих) конгруэнций ускорение G, тензор скоростей деформации D и тензор вращения А. Ускорение системы отсчета влечет за собой возникновение соответствующей силы инерции. Вращение конгруэнции также приводит к инерциальным эффектам (центробежной силе и силе Кориолиса). Эти вопросы освещены в § 2.2, 2.3. Деформация системы отсчета более тесно связана с геометрией рассматриваемого пространственно-временного многообразия, чем предыдущие характеристики, и эхо особенно явно использовалось до сих пор в космологии. Исторически понятие системы отсчета часто смешивалось прежде с понятием системы координат, что совершенно неправомерно. Однако с конкретной сис-
33
темой отсчета вполне законно отождествлять определенное фактор-множество систем координат; такой подход называют формализмом хронометрических инвариантов Зельманова [44, 45); в указанных работах развиты также формализм кинеметрических инвариантов (случай невра-щающихся конгруэнций, когда с системой отсчета связаны семейство гиперповерхностей в пространстве-времени или соответствующее фактормножество систем координат) и монадный формализм. Последний был также независимо развит и другими авторами, а также авторами, сотрудничавшими с А. Л. Зельмановым, но шедшими своими путями (в целом см. работы [54, 154, 70, 78, 81, 18, 133]). В определенном смысле к описанию систем отсчета имеет отношение и тетрадный формализм (см., например, [47, 116, 77, 18]), однако по поводу него следует сделать несколько замечаний. Во-первых, в составе тетрады не обязательно участие временноподобного вектора (например, тетрада Ньюмена— Пенроуза, см. 1.8). Во-вторых, тетрада несет в себе избыточную информацию — добавочные три пространственноподобные направления, ненужные для описания тела отсчета. В-третьих, собственно система отсчета как временноподобная конгруэнция описывается не единственной ортонормирован-ной тетрадой, а фактор-множеством таких тетрад (подобно случаю связи систем отсчета с системами координат).
Предлагаемый ли-монадный формализм [85, 87] содержит как алгебраический аспект описания систем отсчета (общий с монадным формализмом) , так и дифференциальный аспект, включающий определение обобщенных ковариантных производных (отдельно — по времени), дифференциальных тождеств и теории поля на языке 3 + 1-расщепления. Этот формализм полезен при анализе структуры механических систем и полей в ОТО, при квантовании полей в ОТО и при анализе проблемы гравитационных энергии, импульса и момента импульса.
Произведем 3 + 1-расщепление пространства-времени с помощью сечений St : t (л**) = const. Из результатов § 1.5,1.6 следует, что для нормальной конгруэнции тензор скоростей деформации совпадает с внешней кривизной Xfiv ~ Dfiv и ускорение равно = — (In /V) После этого отождествления получаем систему отсчета, естественным образом связанную С сечениями Ef.
Если в монадном формализме в качестве производной по времени берется производная Ли вдоль единичного вектора г, то в случае глобального 3 + 1-расщепления естественной производной по времени является производная Ли вдоль ненормированного векторного поля ? = Nr. Это связано с тем, что собственное время наблюдателя может параметризовать гиперповерхности Ef тогда и только тогда, когда ускорение системы отсчета равно нулю. Введенное дифференцирование предполагает сравнение величин, взятых в одной и той же "точке" З-мерного пространства.
Чтобы отличить наш подход от собственного монадного и кинеметри-чески-инвариантного подходов, будем называть его ли-монадным, имея 34
?*=!*=! р» =? <6-i'Vx> = о.
в виду сочетание идей 3 + 1-расщепления, монадного формализма и дифференцирования по "времени" t (через ?).
$
Рассмотрим двупараметрическое семейство кривых = (t, 9и)
таких, что I = Ъ/bt и 17 = (Ъ/Ъи) Є 7"?*.
Из условия [?,17] = 0 следует, что PpVgrI =NXprIfi- Отсюда
~Г P?V{ (PpV^Vp) = (і ? Xt * х?хі)гЛ (1.94)
Это уравнение можно переписать с использованием обобщенной производной Ферми—Уокера (1.69) в виде [см. также (1.61)]
VivK=(-H *?**;*? к- 1,561
Полученное уравнение описывает девиацию кривых ^-конгруэнции. В правую часть этого уравнения входит только внешняя кривизна. Уравнение девиации в рассматриваемом случае описывает действие гравитационного поля на тела, покоящиеся относительно системы отсчета, связанной с сечениями Et. Следовательно, внешняя кривизна аналогична электрической составляющей электромагнитного поля. В случае произвольной конгруэнции в уравнении девиации появляются также члены с 3^aQiуд' связаннь,е с Движением относительно Ef. Таким образом, тензор ^-мерной кривизны аналогичен магнитной составляющей электромагнитного поля, так как для его обнаружения необходимо движение пробных тел относительно системы отсчета.
