Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
J Aa, dV = J Aadaa; (1.88)
и Ъи
f e»vXAx,vdoa= f A dxt1, И.89)
со Эсо
где U С. Tl — 3-мерная область; со С Tl — 2-мерная поверхность; dV : = = * T = (1/31)» ХЖ**Л dJ л ^Xx — инвариантный элемент объема; doa = (1/2! )eap^d>ft \ dx* — элемент площади. Полезна также связь —д = N2b. В силу того что ^etbyiv =0, последнее соотношение является фактически определением Ь. Кроме того, (yfbAaJ.a = (yfbAa) . a, если A — 3-мерный вектор. Действительно, '
(y/b Aa); а = (Aa/N). a=y/F[Aa.a - Aa (ІпЛОд] =
2 + 1 + 1-расщепление пространства-времени в ли-монадном формализме. Идеи 2 + 1 + 1-расщепления пространства-времени полезны при исследовании многих проблем общей теории относительности, в частности уравнений связи в гамильтоновом описании теории гравитации, гравитационных волн и т. д. Общековариантный подход к 2 + 1 + 1-расщеплению с использованием идей собственно монадного формализма в литературе известен под названием диадного формализма. Полное его описание можно найти в пионерских работах Владимирова [18, 20]. Здесь будет изложена модификация этого метода, учитывающая идеи ли-монадного подхода (см. § 1.7).
Рассмотрим на Zf нормальную конгруэнцию, задаваемую единичным векторным полем І. Введем индуцированную метрику локального 2-мерного подпространства, ортогонального к Zf, по правилу + Предположение о нор-
мальности конгруэнции означает, что двухмерное подпространство можно задать уравнением \(х) =Const. Определим проектор на 2-мерное подпространство, задаваемое этим уравнением, соотношением
л„ - * <а„.
где Iyi - кГ)^; ’ - нормаль; СJi : = kl^ и I^t^ = -1.
Пусть (О-линии и Т^линии образуют двупараметрическое семейство кривых, тогда векторные поля CO и 17 коммутируют: [?0,17] = О. Это предположение не является ограничением на геометрию пространства-времени.
Ковариантную производную относительно 2-мерной связности будем обозначать двумя вертикальными чертами. Для 2-мерных тензоров она определяется формулой
гХ
г. ~ 7\ /С 7^.
31
rttSip = т\ЛуЬ1-
Прямое вычисление показывает, что [р — У^\\ р ~ 0.
Вложение 2-мерного пространства в 3-мерное определяется с помощью следующих уравнений:
2*ам - з*Ъ+ нЛ - var
3flOpjJZJt = ~ 6IXP0V ~ Afl\\v ~ AHAV;
3ft = 2я^ (2Ik) ? в - BfivBixv - в2 * 2Alffl-.
здесь
Bfiv = (1/2*) "SlivelXV =
Vb = *V7; = ІМ;Ї,<У; т? = 0; = 0;
eA: = ^P7M, V вл.
Дифференцирование Ли вдоль векторных полей ? и CJ приводит к соотношениям
? А = 0; ? T^3a = 2р 10; (1/Л/) ? t0 = -fl0.
CO 5 5
Используя 2 + 1 + 1-расщепление, внешнюю кривизну представляем в виде
*о0 = d«0 “ 2ttopp) ~ tOtPf'
где
dap ¦¦ = Хф = - (1/2Л,)^?| V " = ,1//v> Iln^
pP = ^01° = (112N) Jp ? ta; /1 = -XlivIhv = (1/Л/> ? In *.
* _ —1/2
Легко видеть, что тензор 7 д. — 7 ' 7ю конформно-инвариантен от носитель*
«л д
но конформных преобразований 2-мерной метрики, причем 7^ ~Ур- ^ метрикой IjJLV естественным образом связаны тензоры
д - уРуУ ? X . Z =^HyayPiZa
ар 2к 1O1Pt031PV aUV 2N 1V-rV I УаР'
играющие важную роль в проблеме выделения независимых степеней свободы гравитационного поля и анализе энергии собственно гравитационного поля.
32
(1.90)
(1.91)
(1.92)
(1.93)
1.7. ЛИМОНАДНЫЙ ФОРМАЛИЗМ
Выше мы говорили о системах отсчета, опираясь на интуитивное понимание этого термина. Определим теперь его строго. Как физическое понятие система отсчета объединяет совокупность измерительных средств, которые могут одновременно использоваться наблюдателем и которые связаны с его состоянием движения. Так как наблюдатель всегда локализован в некоторой пространственно-временной области (с астрономической и тем более космологической точки зрения он описывается единственной мировой линией), а исследуемые им объекты занимают, вообще говоря, значительно большие объемы, то для их описания с позиций его системы отсчета последнюю приходится в том или ином смысле распространять и на эти объемы. Иначе говоря, в некоторой области пространства времени, окружающей мировую линию наблюдателя, следует представить себе такого же рода мировые линии, более или менее аналогичные первой. Степень аналогии контролируется рядом соображений, которые пока несущественны (о некоторых деталях см. § 5.1 и 5.3). Тогда математически система отсчета описывается временноподобной конгруэнцией мировых линий, каждая из которых изображает движение составной части системы отсчета (точки тела отсчета) .Так как любая точка тела отсчета моделирует локализованный физический измерительный прибор, она должна вести себя как материальная точка, и этим диктуется временноподобный характер мировых линий. Эта точка не должна возмущать геометрии пространства-времени, т. е. она должна быть пробной. Это требование характерно для классической (неквантовой) теории. Как известно [77], учет квантовых принципов требует, чтобы с увеличением точности измерения гравитационного поля неограниченно возрастала масса измеряющего прибора, что приводит к его принципиальной непробности. Однако в классической физике точки тела отсчета могут считаться обладающими исчезающе малыми массами, так что негеодезичность соответствующих мировых линий не требует добавления тензора энергии-им-пульса-натяжения ("двигатели" для ускорения точек также оказываются пробными) .
