Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
кривых.
Запишем теперь важное соотношение (имеющее характер соглашения):
uH-, \ = 6uX6M + А\» + *= ± I- (1 64)
Здесь все величины справа, кроме и, ортогональны и. Тогда, очевидно, G=u. Пусть тензоры А и D описывают соответственно антисимметричную и симметричную части оставшегося выражения. При этом, как легко видеть,
А\ц + % = bH ¦ 1V = <1-65>
где четверка векторов b представляет собой комбинацию базисных векторов с помощью коэффициентов, изображающих компоненты р:
bH = (5Ї - eu^)ev = р{е(?- (166>
Ясно, что-и= 0. Тогда симметричный тензор Dt т. е. тензор скоростей деформации конгруэнции, выражается как
% = ~и ¦ V6 (= Paix^ ив; р = (1/2) ? Phl. (1.67)
(Везде, где производная Ли применяется не к тензорам, а непосредственно к их компонентам, эти компоненты следует понимать как координатные.) Co своей стороны, антисимметричный тензор вращения конгруэнции А выражается как
А\ц=~и' Д] = = p[\pl]uQfl- (168)
Покажем, что равенство этого тензора нулю является необходимым и достаточным условием голономности подпространства, (гиперповерхности — точнее, семейства гиперповерхностей), ортогонального конгруэнции и. Возьмем два вектора (не ковектора) т? и Пусть они оба ортогональны конгруэнции: т? - и = f *7 = 0, т.е.р(т?, ) =т? ир (f, ) =f. Выполним перенос Ли сначала одного вектора вдоль другого, а затем наоборот и потребуем, чтобы новый вектор (а это есть ? f) также лежал в
*?
25
том же подпространстве (условие голономности), т. е. чтобы U • [if, f] = = 0. Учитывая свойства взятых векторов, имеем
Это должно быть справедливо для произвольных векторов Т7 и f из подпространства, так что
что и означает = 0. Этот результат является частным случаем теоремы Фробениуса [46, с. 218].
По образцу ковариантной производной Ферми—Уокера введем операцию
Легко проверить, что для такой кривизны Ru (х, y)f = Ru (х, у)и= 0, а также и • (Ru (х, y)v) =0. Кривизна (1.70) связана с проекцией 4-мерной кривизны на 3-пространство, ортогональное конгруэнции (вообще говоря, неголономное), соотношением
В случае голономного подпространства (когда A v = 0) это соотношение переходит в уравнение Гаусса (1.83).
Если теперь вернуться к производной V ь , которую мы использовали при определении тензоров вращения и скоростей деформации (1.65), то построенная с ее помощью кривизна при действии на вектор и [(аналогичная процедура с (1.70) ничего не дает] выражается как
где Pfx — ковектор, отвечающий вектору Это не полное, а однократно-свернутое выражение. Для нормальной конгруэнции {Ацр = 0) оно переходит в известное уравнение Кодацци (1.84).
На языке форм Картана определение (1.64) можно переписать в виде
4Wv = vWv + ef (V ' vwu)u ~ ^ 7WwL
(1.69)
обладающую свойствами
Построим из нее аналог кривизны по обычным правилам:
(1.70)
(1.71)
l0X'
(1.72)
du = ей AG + TA,
(1.73)
26
где G = Gcfia; A = (Ml)Ac^fiaA 0&. Дифференцируя (1.73) внешним образом, получаем
dA = (е/2)и A dG — еА Л G, (1.74)
причем и Adu = 2иЛ А и и Л dA = —ей A A A G.
Из соотношения (1.24) следует, что
G = — * (i/ A *du) (1.75)
и
CJ = (1/4) * (и A du) = (1/2) * (и А А), (1.76)
где
“а = и®А(& (177)
— аксиальный вектор угловой скорости вращения конгруэнции [ср. с
определением напряженности магнитного поля (2.14)!] Укажем, кроме
того, выражение для 3-мерного ротора ускорения:
G Х0Х Л Pfi s dG + и л ? G =
М» л 1<
= е * (?/ Л* (и A dG)) = -2 * (и А * dA) = 2 ? А. (1.78)
и
Это важное соотношение характеризует поведение конгруэнции, и наряду с ним существуют другие дифференциальные тождества, куда входят, в частности, обобщенные уравнения Кодацци (1.72). Бросается в глаза частое возникновение здесь производных Ли; их важную роль можно
лишний раз подчеркнуть, приведя простое соотношение ?и = G .
и M M
Пользуясь приведенными выше тождествами, можно показать, что для нормальной конгруэнции (когда вращение отсутствует) существует интегрирующий множитель, т. е. такая функция Nt что d(N~lu) = 0. В области с хорошими топологическими свойствами 1-форма f = N~lu не только замкнутая, но и точная, т. е. f =dt (хотя для большинства выводов это несущественно). Итак, имеют место свойства нормировки (если ввести % = Nu) ? • f = ЛГ2е, f * % =е. Тогда наряду с тривиальным тождеством ? = 0 выполняется и тождество ? = 0, а так как про-
% %м ектор обладает теперь компонентами
^ = 5S - esV а79)
то и он постоянен при дифференцировании Ли относительно поля ?: ?р“ = °.
Дадим теперь инвариантное определение статических и стационарных метрик. Для этого вернемся к векторам Киллинга, обсуждавшимся в начале этого параграфа. Статическими называются такие метрики, для которых существует нормальная киллингова конгруэнция; для стационарных метрик киллингова конгруэнция должна быть ненормальной
27
(т. е. должны отсутствовать гиперповерхности, ей ортогональные). Определив координату t, конгруэнция линий которой совпадает с киллинговой конгруэнцией, можно так выбрать масштаб, что % = 3f. Katc мы видели, от координаты t метрика не зависит (Э= 0). Если конгруэнция t нормальна, то существуют ортогональные ей гиперповерхности, образующие однопараметрическое семейство, и остальные координаты можно расположить в этих гиперповерхностях, т. е. ортогонально линиям t. Это значит, что в случае статической метрики путем выбора системы координат можно не только сделать компоненты метрического тензора не зависящими от некоторой координаты (мы назвали ее г), но и обратить в нуль все смешанные компоненты метрического тензора 9t^( {* } ^ t = ф). Для стационарной метрики одновременно сделать и то, и другое невозможно. Необходимым и достаточным признаком нормальности конгруэнции в соответствии с (1.76) является выполнение равенства % A d% = 0 (нормировка вектора % здесь не играет роли). Обычно статические и стационарные метрики связывают с понятием времени (конгруэнция t берется временноподобной), однако сказанное выше применимо к любым неизотропным конгруэнциям.
