Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
ы°. = сЛ = в'' 1 * 1- 2< 3;
і к л Jf
CO. =-.0)% =---------е, * = 2,3;
* aS
W2=-O;3 = --?12*_е3.
3 2 es
Подставив эти выражения во вторые уравнения структуры Картана (1.37), получим при сравнении с определением 2-форм кривизны все компоненты тензора кривизны Римана— Кристоффеля. Для краткости запишем здесь окончательный результат:
1.4. ЭЛЕМЕНТЫ РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ [164,163,111,148]
Ковариантная производная Vu (в направлении вектора и) отображает произвольный тензор T в тензор той же самой валентности (ранга) и определяется следующими свойствами: ее действие на скалярную функцию f совпадает с действием вектора и как линейного дифференциального оператора:
V = uf; (1.38а)
19
она является линейной операцией
(1.386)
(а и /3 — функции) и обладает свойством Лейбница
VJS <8 Г) = (ViyS) в T + S ® V/;
(1.38в)
метрический тензор в римановой геометрии ковариантно постоянен
и выполняется (в римановой геометрии, где отсутствует кручение) тождество
Наряду с метрикой, вводимой в римановой геометрии на алгебраическом уровне (что позволяет понимать контравариангные и ковари-антные компоненты как принадлежащие одному и тому же вектору или тензору), здесь вводим понятие коэффициентов связности Г^?а, характеризующих операцию переноса тензорных величин и допускающих их сравнение в разных точках при задании конкретного пути между точками. Коэффициенты связаности определяются равенством
Отсюда видно, что эта совокупность величин ведет себя как компоненты тензора, хотя ковариантная производная вектора — v v — остается вектором!
Базисные векторы еа, вообще говоря, не коммутируют друг с другом; на основании (1.39) и (1.38д) ясно, что
Здесь введены величины ф- структурные коэффициенты базиса, по
своей природе близкие к структурным константам в теории групп. Если исследуемое пространство обладает свойствами симметрии (подвижности) , описываемыми некоторой группой движений, то для наиболее простого его описания следует выбрать такой базис, структурные коэффициенты которого в максимально возможной степени копируют структурные константы группы движений. Ясно, что в координатном базисе базисные векторы коммутируют (сводясь к частным произвол-20
(1.38г)
VvU = К у ] •
(1.38д)
(1.39)
[ср. с (1.33) ]. Тогда
V11V = ua(eav7 + еу = UaV1^er
(1.40)
и часто используемое обозначение v^.a можно представить в виде
(1.41)
(1.42)
ным по независимым координатам), так что в этом случае С*^ = 0, а коэффициенты связности симметричны по двум нижним индексам (их называют тогда символами Кристоффеля). Однако в общем случае такой симметрии нет, и решение соотношений (1.38г) и (1.42) [последнее представляет в более удобной форме соотношение (1.38д) ] имеет вид
2rV S7' Vm * 'Au - •*** *
¦ СЛ+ - cV |МЗ>
Если в данном базисе метрический тензор обладает постоянными компонентами [примеры: ортонормированный базис, базис Ньюмена-Пенроуза (см. § 1.8) и др.] , то в (1.43) в нуль обращаются все три слагаемых в скобках, и тогда коэффициенты связности называют коэффициентами вращения Риччи (для них имеет место антисимметрия =
^Pcry^ *
Отметим, что внешний дифференциал (в применении к любой форме) можно записать как дифференциальный оператор
Cl = ClxaVz A=BaV л. (1.44)
0CL еа
При конкретных расчетах следует помнить, что (в отличие от прежней формулировки риманоБЭй геометрии в компонентах величин) операция набла Vu действует на компоненты тензоров, как и на скалярные функции, по правилу (1.38а) и лишь на сами тензоры (т. е. фактически на тензорные базисы) — по правилу (1.39) или (как следствие предыдущего) — по (1.40). Читателю предлагается в качестве упражнения получить таким образом равенство (1.32).
Тензор кривизны Римана—Кристоффеля удобно ввести в произвольном базисе с помощью линейного дифференциального оператора второго порядка, действующего на тензоры:
R (и, v) = V V -VV-Vr і. (1.45)
' ' ' uv ^vu Iй* v 1
Этот оператор обладает свойством Лейбница, присущим операторам первого порядка:
R (и. v) {SG Т) = (R (и, v)S) <8 T + S 9 R (и, v) Tt
причем, так как R (и, v)f -0 (f — как обычно, скалярная функция), имеет место свойство
R (uf v) (fT) = fR(u, v)T.
Компоненты тензора кривизны определяются как
RCt(iy6 = в° {R <е7' W' (1-46)
откуда их просто рыразить в виде
В координатном базисе [дЭ^] = 0, так что "IW = V3tV3s- V3sV3^
И
ls,\- sSl1'1 " Л«;т - ''.-T:*-Кроме того, в координатном базисе удобно пользоваться введенными в соотношения (1.3) и (1.4) величинами для записи ковариантных производных и их коммутирования (на языке компонент тензорных величин) :
Ta -а = Т., а + Mjrffer (1.48)
И
Га;6;7 - Ta:r8 = R0py6Ta |g. (1.49)
В заключение приведем выражение некоторых свойств кривизны, записанное для форм Картана: алгебраические тождества Риччи
SlttQ л 00 = 0 (1.50)
и дифференциальные тождества Бианки
dtfp = Sltxy Л - OJa7 л Птр. (1.51)
С помощью форм Картана удобно описывать также конформные преобразования (перенормировку) метрики, выражающуюся в координатном базисе как = ехр (2о)д^р. Тогда, считая базисные формы (не координатный базис) перенормируемыми как ва = ехр (о) ва, сохраняем для обоих базисов одни и те же (тетрадные) компоненты метрики. Поэтому новые 1-формы связности выражаются как
