Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
' _
Ы/Ы = -HlAgr Vе, f).
После замены в функции Гамильтона плотности импульса вариационными производными получим уравнение Гамильтона-*Якоби:
1.8. ФОРМАЛИЗМ НЬЮМЕНА-ПЕНРОУЗА [91,58,144,149]
При исследовании уравнений Эйнштейна и получении их решений хорошо зарекомендовал себя специальный выбор неголономного базиса, который вместе с системой специфических обозначений составляет основу формализма Ньюмена—Пенроуза (НП). Этот формализм значительно облегчает многие расчеты в ОТО, доказательство ряда важных теорем о свойствах гравитационных полей. Число доступных источников о формализме НП весьма ограниченно, поэтому дадим здесь его сжатое изложение. Для базиса НП характерна взаимная нормировка тетрадных векторов, такая, что тетрадные компоненты метрического тензора постсійн-
Ь?І = ! (Ag, t) - / (Age t — 8t). %
Применяя теорему о среднем, получаем:
(1.104)
39
ны и имеют вид
9 (еа, ер) =9(ф =9 №а, 0Р) = 9а(І =
/О 1 О 0 \
= I 1 О О О \ . (1.105)
Iooo-W \0 0-1 о /
Ясно, что все базисные векторы изотропны. Это было бы, конечно, невозможно, если бы все они были действительными, так что базис составлен из двух действительных и двух комплексных (взаимно сопряженных) векторов, которые часто обозначают как
е0 = к; е і = t; е2 = т; еъ = т (1.106)
(традиционно в этом формализме комплексное сопряжение основных величин записывают с помощью черточки: т =/77*). Будем обозначать соответствующие друг другу векторы и ковекторы одинаково; это не приведет к недоразумениям, и следует, например, иметь в виду, что в произвольном координатном базисе в (1.106) к = тогда как в
(1.107) к = kydxV. Тогда для ковекторного базиса
носящие название условий полноты базиса. Кроме того, так как \/—д' = = і (знак выбран для стандартной ориентации тетрады по отношению к координатным осям), аксиальный тензор Леви-Чивиты равен Е(фуЗ = * 6Ofiyd = • Поэтому компоненты дуально сопряженного би-
вектора (антисимметричного тензора с валентностью, равной 2)
00 = 1; 01 = к. в2 = 03 =
Справедливы соотношения
(1.107)
SaQ = VjS + kPia- mJnP - mPma
И
д<Ф = 2к (PlP) - Ъп(ат^ ,
^ ¦¦ =
(1.108)
равны:
Определим автодуальные
(+)
(1.109)
40
и антиавтодуальные
(-)
F : = (1/2) (F + \F* )
м (±) (±) бивекторы; легко видеть, что они обладают свойством F* = ± jF
LXV W
а также что
(+) (-)
FfivF Vv = 0. (1.110)
Очевидно, что при комплексном сопряжении в действительном базисе автодуальный бивектор переходит в антиавтодуальный, и наоборот. Так как любой бивектор представим в виде суммы автодуальной и анти-автодуальной его частей, то в силу свойства ортогональности (1.110) его квадрат распадается на сумму квадратов:
( + ) ( + )fXV (-) (-)HV
Vf*1"= Vf ¦ Vf "-1'"
Замечательно, что свойство ортогональности (1.110) сохраняет силу, даже если перемножаются два бивектора, не имеющие никакого отношения друг к другу — лишь бы один был автодуальным, а другой — антиавтодуальным. Если F— тензор напряженности электромагнитного поля, то дуальное сопряжение (1.108) меняет местами его электрическую и магнитную составляющие (при этом появляется еще и множитель, по модулю равный единице). Тензор энергии-импульса электромагнитного поля можно представить в виде, симметричном относительно такого перехода* к дуально сопряженному тензору напряженности:
Tvll = -(1/8я) (FytaFva + F*p F1?) (1 112а)
или как
(+) (-)i>а (-) (+)ш
Tvy, = -(1/4я) (FfivF +FtivF )• (1.1126)
Пусть компоненты тензора действительны в некотором действительном базисе. Тогда в базисе НП они будут комплексными, и комплексное сопряжение будет переводить их в исходные компоненты с заменой индекса 2 индексом 3 и наоборот. Отметим, кроме того, что в базисе НП
( + ) (-)
у величин F [XV и Fjxv отличны от НУЛЯ лишь по три компоненты:
( + ) (+)
F1 : = F ог — F02; F2 : = F зі = F31;
(+) ( + )
F3 : = F Oi I N) Ы II "П о - F23 (1
Ф1
(-)
F1 = F03 = F 03^
(-)
P2 = —F і 2 = -F12;
(-) (-)
F3 = /rOl + F23 = /rOl + F 23-
Поэтому, учитывая свойство (1.111), получаем
WslOfiw = ZF1F2 - (1/2)F3F3 + компл.сопр.,
т. е. равенство, на котором основывается описание бивекторов с помощью 3-мерного комплексного евклидова пространства с метрикой
/О 1 О
уРЯ =
^PQ
/о 1 0\
(10 0 . \0 О -2/
(1.114)
Конечно, в этом векторном пространстве можно ввести и декартову метрику. Для этого достаточно произвести преобразование
(F1T2T3') = (F1F2F3)A;
(1.115)
(1.116)
(1.117)
что эквивалентно переходу от базиса НП (1.106) к обычному ортонор-мированному неголономному базису в пространстве-времени.
Рассматривая векторы (1.106) как линейные дифференциальные операторы, можно ввести следующие стандартные обозначения НП:
е0 = к = D; C1 = I = А;
е2 = т = 6; е3 = Fn = 5.
Кроме того, в формализме НП коэффициенты связности
З Iеу Veaep) ~ Fyfia = ~~^руа
обычно обозначаются как
(1/2) (Гюо + Г23о) = е; (1/2) (Г10і + Г23і) = у;
(1/2) (гI02 + г232 ) = Р; (1/2) (г103 + г233) =
