Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
1.6. ГЕОМЕТРИЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ
Рассмотрим связь между внутренней геометрией гиперповерхностей в пространстве-времени и геометрией пространства-времени 7*1. Пусть f : Tl -+ т — вложение трехмерного многообразия Tl в M . Если д - метрика на 7П , то отображение f индуцирует на # метрику
f*g : (Гд)рОС, Y) =gfip)if*x, f.n.
Индуцированную метрику называют также первой фундаментальной формой.
Пример [15б]. Пусть f : TL Ш задается в локальных координатах в виде U1, х2, х3) -*• (у0, у1, у2, у3) - (Xі.Xі. X2. х3) и gyW, HO = (W0)2 - (IV1)2- (JVa)2-
— (tv3)2. Тогда индуцированная метрика определяется соотношениями
\f'9)xlV, V) = -(И2)2 - (И3)2; ІЇ'9)ХШ, V) =-U2V2 - U3V3. Отсюда следует, что форма if*g)x(U, V) вырождена и поэтому не определяет ри-манову структуру на TL .B этом случае многообразие f {Tl ) называют изотропным подмногообразием в Ш .
Различные возможности вложения можно описать в терминах нормали т к f ( Tl ), а именно: если g — лоренцева метрика, то индуцированная метрика будет [148]: 1) лоренцевой при д(т, т) < 0; 2) вырожденной при0(т, г) = 0; 3) отрицательно определенной при д(т, т) > 0.
В соответствии с этой классификацией различают временноподобные (1), изотропные (2) и пространственноподобные (3) гиперповерхности.
Пусть TL — пространственноподобная гиперповерхность. Ее можно задать локально уравнением t (х^) = const, так что dt Ф 0. Отсюда следует, что ( dt, f *Х> = 0 для любого вектора X Є TЯ . Если г — вектор
28
единичной нормали, то ему двойственна 1-форма г = Ndt с условием нормировки Qa^TaTp = 1. Очевидно, что f*r - 0. С помощью г на TL определяется индуцированная метрика b =д — г * г, поскольку f*b = f*g и = °-
С помощью проектора рр = Sjjj — осуществляется расщепление геометрических объектов на нормальную и касательную составляющие:
Л® = Xй + fafpXp; X5 : =ХХр? [ср. с (1.79)].
Для того чтобы определить индуцированную связность на TL, заметим, что вектор
3VuV : = VuV - д (г, v uv) т (1.80)
лежит в касательном пространстве T 71 , если и, v Є ТЭ1 , и, следова-
тельно, с учетом того, что 3Vb=O (индуцированная метрика ковариантно постоянна относительно 3V ), этим соотношением определяется индуцированная связность на Tl . Как легко видеть, (1.80) можно переписать в виде
3V V = V V + (v • V т)т. и и и
Билинейную форму [ср. с (1.67)]
X (ur v) = V • Ij
или в компонентах
= (1/2*) ? V (1.81)
называют второй фундаментальной формой. Она показывает, как деформируется гиперповерхность f ( Tl ) относительно окружающего ее пространства-времени.
В компонентной записи ковариантную производную относительно индуцированной связности будем обозначать вертикальной чертой. Тогда для 3-мерных тензоров имеется следующая связь между 4-мерными и 3-мерными ковариантными производными:
Da _ о о вр\ р - eSnpOpPpP-причем
eiXV\ I р “ pP I P ~ °'
где е= PijlpX — 3-мерный тензор Леви-Чивиты.
В терминах индуцированной связности оператор 3-мерной кривизны определяется как
3R(uf V) = 3Vu3Yv - 3Vlf3Vu - 3Viu ?у (1.821
29
Связь между тензором внутренней Кривизны 3RaQyS и тензором кривизны устанавливается с помощью уравнений Гаусса [ср. с (1.71) ]:
3/7<W = + Xa7Xps - Xa6Xpr (1.83)
В свою очередь, внешняя кривизна связана с 4-мерным тензором кривизны через уравнения Кодацци:
X*Хр\а “ ^al V (1.84)
Используя связь альтернированных ковариантных производных вектора г с тензором кривизны, получаем
ясфр^ = (1//V) I Xiiv - XliaX0v -GlJtIv + GflGv, (1.85)
где Gfx = — {In/V) д = Tfx^pTp; % = Nt.
Из этих соотношений следует:
R = 3R + 2Rap*i0 - Xa0X0*3 + X2 (1.86)
ИЛИ
R = 3R + Xal3Xfl*3 + X2 + (2//V) ? X - 26м. м- (1.87)
Пример. Синхронные координаты. Пусть вложение гиперповерхности Ef в пространство-время 7У1 описывается уравнением Г = х° = const и координаты X1 являются внутренними. Тогда
dS2 = dt2 + дijdx *dxj.
Отсюда следует, что = = 1» а проектор = 6^j — ^ ® соответствии с
определением индуцированной метрики Ь,у = д.. и Ьо/ = Ьоо = 0. Так как нормирующий множитель N равен единице, то вектор G=O. Это означает, что система отсчета, естественным образом связанная с синхронной системой координат, определяется геодезической конгруэнцией и время Г совпадает с собственным временем наблюдателя. Производная Ли здесь выглядит очень просто: ?= d(. С учетом специфики синхронных координат %
Xii = = (1/2> I ьа = <1/2>ь,у;
Hoiі 0 = Xy - XipXf:
R = 3R+ XjjXli + X2 + 2Х-
Синхронные координаты являются частным случаем нормальных гауссовых координат [123]. Они сингулярны в том смысле, что нормали к гиперповерхностям Xt в будущем начнут пересекаться. Это обусловлено фокусирующим действием уравнений Эйнштейна. В случае, когда нормальная конгруэнция не геодези-
30
ческая (N Ф 1), с сечениями Zf связана кинеметрически инвариантная система отсчета [18, 44].
В предыдущем параграфе была сформулирована теорема Стокса для произвольного многообразия. В случае гиперповерхности Tl С Ж интегральные теоремы типа Гаусса—Стокса имеют вид
