Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
На протяжении ряда лет авторы изучали и излагали студентам проблемы динамики физических полей. При этом мы учились говорить (и думать) на разных математических языках — от традиционного тензорного анализа и до бескоординатных методов. С каждым новым поступательным шагом развития физической теории становится все яснее, что наши математические методы отнюдь не случайны, что они объективно соответствуют физической реальности. Поэтому мы очень серьезно относимся к выявлению и освоению эффективных методов анализа. Им посвящена большая первая глава книги, которая, однако, не только не может заменить учебника, но и не претендует на полноту: мы стремились дать в ней лишь сводку необходимых идей и соотношений.
До настоящего времени не было книги, которая в достаточной степени объединяла бы указанные взаимно переплетающиеся проблемы и методы теории гравитации. Поэтому мы старались ориентироваться и на широкий круг физиков, и на математиков (как специалистов, так и студентов), заинтересованных в знакомстве с основными физическими следствиями и понятиями, которые возникают при геометризации физики. Конечно, мы не считаем, что наши концепции и вообще установившийся взгляд на вещи являются истиной в последней инстанции, и далеки от стремления внушать читателю благодушное отношение к современной ситуации в этой области науки.
Работа над книгой — многогранный процесс, при котором не только устанавливается взаимопонимание между авторами, но и выявляются различия в подходах. Поэтому не будет лишним указать, кто в большей степени несет ответственность за отдельные разделы. А. П. Ефремов: 2.5, гл. 4. Н. В. Мицкевич: 1.2 - 1.5, 1.8, 2.1 - 2.3, 3.1 - 3.5, 5.3. А. И. Нестеров: 1.1,1.6,1.7,2.4, 3.6,5.1, 5.2,5.4, гл. 6 и 7.
Мы благодарны Ю. С. Владимирову, А. П. Крыловой, С. Н. Курлович, Л. В. Сабинину, В. А. Степаненко за конструктивную критику и помощь в работе над книгой, а также руководству и сотрудникам кафедр, на которых мы работаем, за понимание наших интересов и трудностей.
Авторы
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
— сигнатура
— многообразие (пространгтво-время)
— изотропная бесконечность будущего (прошлого)
— временная бесконечность будущего (прошлого)
— пространственная бесконечность
— касательное пространство
— кокасательное пространство
— отображение касательных пространств
— отображение кокасательных пространств
— тензорное произведение
— внешнее произведение
— дуальное сопряжение (звездочка Ходжа)
— автодуальный (антиавтодуальный) бивектор
— базисные 1-формы (ковекторный базис)
— векторный базис
— свертка (скалярное произведение вектора и ковектора)
— скалярное произведение векторов и ковекторов
— производная Ли по вектору ?
— ковариантная производная по вектору X
— производная Ферми—Уокера
— обобщенная производная Ферми—Уокера
— форма связности
— форма кривизны
— оператор кривизны
— тензор кривизны
— тензор Риччи
— уравнения Эйнштейна
b — g — т ф т
а xb : = * [а AT ЛЬ)
иAv: = -9 [и, і/) := -Ь {и, v)
^lXV
Ga AaV Da р
проектор на 3-мерное пространство 3-мерная метрика
векторное произведение 3-мерных векторов скалярное произведение 3-мерных векторов вторая фундаментальная форма (внешняя кривизна)
ускорение системы отсчета
тензор вращения
тензор скоростей деформации
Глава 1
АНАЛИЗ НА МНОГООБРАЗИЯХ И СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА
1.1. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ И ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ [6, 156, 38]
Концепция многообразия, на определении которого мы здесь не останавливаемся, обобщает понятие поверхности или кривой в R3. Отметим только, что дифференцируемое многообразие предполагает в каждой своей точке существование касательной плоскости (касательного пространства), причем, как это видно из дальнейшего, касательный вектор определяется внутренним образом. Будем предполагать, что пространство-время обладает гладкой дифференцируемой структурой такого рода.
Касательное пространство. Под касательным вектором { в точке х Є Ш понимают класс эквивалентности параметризованных кривых, выходящих из х. Две кривые 7і : / Ж и у2 '• / , I = [0, 1]
(рис. 1.1) эквивалентны, если их изображения на какой-либо карте эквивалентны. Соотношение эквивалентности определяется тем, что эти кривые соприкасаются в точке х Тогда касательный вектор вхЄШ определится как отображение (см. также рис. 1.2)
(f — параметр на кривых; t = 0 в х). Из этого определения следует, что^ в дркальной карте касательный вектор имеет компоненты Va = = Cbf1Zdt. Отсюда очевидно эквивалентное определение касательного вектора как дифференциального оператора, а именно:
eft Jxe &
Пример. Сферическая система координат; координатный базис: {Эг, дф, Э^}.
Компоненты вектора V = Vrbr + V Ъф + V^b^ равны:
Vr = dr/dt, V0 = dd/dt, Vf = dip/dt.
Относительно некоординатного (неголономного) базиса еГ = Ъг, е. = (rsinfl) - можно записать разложение вектора V:
А Й Ї У = Vr ег + іЛ>0 + VVeipl
А л Л
где Vr = dr/dt, V = rdO/dt, V* = г smQdip/dt.
