Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мицкевич Н.В. -> "Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура" -> 5

Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.

Мицкевич Н.В., Ефремов А.П., Нестеров А.И. Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура — М.: Энергоатомиздат, 1985. — 184 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikapoleyobsheyteorii1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 75 >> Следующая


1) линейность: d(a + Р) •= da + dQ^ d (Xo) = 4Kda при X = const;

2) d(a Л P) = daAP + (-1)раЛ</0; deg a = р;

3) dd = 0;

4) как мы уже видели, для скалярной функции f (0-формы) df представляет собой обычный дифференциал. В координатном базисе

da = ay^ v ^dxfi Л dxVl A . . . A dxvP. (1.16)

Р' 13
Мы будем часто обозначать всю совокупность индексов компонент форм и их базисов с помощью коллективных индексов, так что, например, выражение (1.16) может быть записано как

da = ?, Hdxtsa, (1.17)

причем тот факт, что собирательный индекс состоит из данного числа (здесь р) индивидуальных индексов, выражается равенством Ф а - р\ тогда, например, Ф (да ) = р + 1.

Пример 1 {ротор). Пусть CL = А (х, у, z)dx + В (х, у, z)dy + Сіх, y,z)dzt тогда

da = (Ъс/Ъу — be/bz)dy л dz + (дл/bz — bc/bx)dz A dx +

+ (дв/дх — ЪА/Ъу) dx A dy. (1.18)

Пример 2 (<дивергенция). Пусть CO =P (x, у, z) dyAdz + Q (x, y, z)dz A dx + + R (x, y, z)dx A dy. Тогда

dco = (Ър/Ъх + дй/Ьу + dR/dz)dxA dy A dz.

Если сюда подставить Pf Q, R из (1.18), то в соответствии со свойством 3 получим ddCL = 0. Так на языке дифференциальных форм выражается хорошо известное соотношение divrotfl = 0.

Операция дуального сопряжения (звездочка Ходжа) [39] переводит р-форму в (4 — р) -форму (аналогичная операция существует в общем случае /?-мерных многообразий и, в частности, в 3-мерном физическом пространстве с учетом систем отсчета). Такое изменение степени формы осуществляется с помощью аксиального тензора Леви-Чивиты, который наряду с метрическим тензором является единственным тождественно* ковариантно постоянным тензором. Рассмотрим 4-мерный случай, когда аксиальный тензор Леви-Чивиты строится с помощью полностью антисимметричного четырехиндексного символа Леви-Чивиты =

= e[aQy$]'* ео 123 = +1 (его всегда будем обозначать с нижними индексами):

Еф6 = ^єф8' *** = -<1/^еа07«- <1-19»

Аксиальные тензоры Леви-Чивиты при перемножении дают {ф I = L)

EieEV> = ?з,Ґ1 = і-"АиЄаҐ =

(здесь коллективные индексы строятся лишь из совокупностей полностью антисимметризованных индивидуальных индексов), причем обобщенные символы Кронекера определяются как

Sb = А\бЬ ... * а = Ф Ь = А

а IaI я2 аА\

и обладают свойством PaSbg = AlPb 14
А

Если исходить из базиса 4-форм cbf : = П л dx ' , то дуально сопрн-

/ = 1

женный ему базис определится как

* dxa = (MLl)EafCixi, L = A-A, (1.20)

и обратно:

dxl =-(UA\) Eat * dxa . (1:21)

Поэтому форму, дуально сопряженную относительно /4-формы, a=aadxa естественно определить как

* a = Cta .dx8 = (ML\)aaEaldx'. (1.22)

Повторное применение дуального сопряжения возвращает к исходной форме:

л , • ч-М4- *) \

** а = (—1 )Л + 1а. (-'> і . (1.23)

Введем теперь Z-форму со: со = сozdxz, =# z = Z. Воспользовавшись простым тождеством

bg = IA + Н)! &ь ьд ФИ = Фд = Н, Z = А + H, ah А,т [в Л]

легко убедиться, что

* (а Л *ш) = (-1)w + l ———————й9to. dxh. (1.24)

«! Лэ

Таким способом можно свертывать формы друг с другом. Запишем, кроме того, некоторые полезные соотношения: элемент 4-объема выражается как (dx) =dx°123, причем дуальное сопряжение 0~формы дает

* 1 = y/^g(dx), ** 1 = -1, (1.25)

так что

* (dx) = -1 IyJ-д\ (1.26)

Если даны две 4-формы а и 0, то

а Л * P = Alaa Pa \/ —д (dx) = P Л * а.

Это равенство подсказывает определение интегральной операции типа скалярного произведения с включением гильбертова пространства

(а, Р) = (pt а) = J а Л *р.

M

Если же deg/3 - dega — 1, то скалярное произведение можно проинтегрировать по частям на основании тождества

а А * dP = d(P Л * а) — A \Pbavb. р\/ -д (dx) t

15
так что

(а, с/Р) = (8а, Р) + J (/ЇА*а).

Ъм

если ввести полезное определение

Здесь # b = В = А — 1, причем i> — обычный 4-мерный индекс, так что

# (i>b) =A. Нетрудно видеть, что [39]

Комбинация операций d (типа градиента и ротора) и 8 (типа дивергенции) приводит к дифференциальному оператору второго порядка, действующему на формы без изменения их степени и аналогичному оператору Лапласа или Даламбера; этот оператор называют оператором Де Рама (дерамианом) и обозначают

Форма, которую дерамиан обращает в нуль, называют гармонической, и для нее Ay = 0.

Если форма представляет собой внешний дифференциал другой формы (на единицу меньшей степени), т. е. если со = da, то эту форму со называют точной. Аналогично, если со =80, то форму со называют коточ-ной (тогда степень 0 на единицу больше степени со). Если с/со = 0, то форму со называют замкнутой; если бсо =0, то форму со называют козамкну-той. Так как справедливы тождества

то всякая точная форма замкнута, а коточная — козамкнута (но, вообще говоря, обратное неверно!).

T е о р е м а (Ходж [39J) % Если 7ҐІ — компактное многообразие без границы, то в нем любую форму со можно представить как сумму точной, коточной и гармонической форм:

со = da + 80 + у,

причем, конечно,

degco = dega + 1 * deg0 — 1 = deg-y.

Это представление однозначно, и основным носителем информации о свойствах исходной формы со является гармоническая форма у.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 75 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed