Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Множество всех векторов, касательных к Ift в точке х, имеет структуру линейного пространства, не зависящую от выбора локальной карты.
7
R
Уг (существование общей касательной) Рис. 1.2. Действие отображений f и ф
Это линейное пространство называют касательным пространством к TTl вх и обозначают TxTtt.
Пусть на TTl задана некоторая кривая 7(f) и векторное поле V (р), р Є ITt такое, что в каждой точке кривой касательный вектор к 7(f)
совпадает с V/ (р):
Тогда 7(f) называют интегральной кривой векторного поля V.
Часто динамические системы описывают дифференциальными уравнениями вида (1.1), и, соответственно, интегральные кривые -у (Г, р) определяют фазовые траектории, а в целом — фазовый поток. Поэтому в окрестности U Эх векторное поле естественным образом определяет локальное отображение TTZ -> TTZ , которое обозначим gt (х) : ;= у (f, х.). Множество отображений gf образует локальную однопараметрическую группу диффеоморфизмов [6, с. 10; 111, с. 145] (точнее — псевдогруппу. Термин "псевдогруппа" означает, что операция умножения является частичной, т. е. gtg$ может вывести за пределы окрестности (J):
9t9s = 9t+s; t, S9 t + s Є / (х).
Говорят, что векторное поле dgJdt - V генерирует эту группу (рис. 1.3).
T е о р е м а [156, с. 145]. Гладкое векторное поле на компактном многообразии TTt генерирует однопараметрическую группу диффе-
оморфизмов TTl : TTt —7П.
Сл едствие (см. [156]). Гладкое векторное поле на многообразии TTl , равное нулю вне компакта К С TTl , генерирует однопараметрическую группу диффеоморфизмов TTl.
Замечание 1. Здесь нельзя отбросить условие компактности. Пример ([6], с. 25) : TTl -Rf х—х . Решение: х=— it — to) 1 нельзя продолжить неограниченно (рис. 1.4).
Замечание 2. Локальные диффеоморфизмы (х) часто обозначают exp (tV) : х ~*3t (*). Это обозначение проистекает из свойства умножения в группе:
dy(t)!dt = I/(7(г)).
(1.1)
8
Рис. 1.3. Генерирование локальной однопараметрической группы диффеоморфизмов векторным полем V = CigfZdt
• 2
Рис. 1.4. Два решения уравнения х—х , которые нельзя продолжить неограниченно
Замечание 3. Если задано отображение многообразий Tffl -+Tl , то оно естественным образом индуцирует отображение касательных пространств </?*: TxZn-+ Т., х71 по правилу
. ix pw* по пРавилу
*'• -S-I,.Z**'-
В компонентах это равенство перепишется так:
= дУа d? dt дх@ dt
Пространственно-временные координаты От } представляют собой четверку скалярных функций, что проявляется при переходе к новой системе координат, {х'^ } : х'^ =х'^ (х). При бесконечно малом пре-
образовании (инфинитезимальность параметра е) следует говорить о векторном поле, связывающем эти координаты и дающем отображение
т -*т:
х'* = + е#1 М.
(1.2)
Если все индексы компонент некоторого тензора T записать как один коллективный (собирательный) индекс а , то преобразование этих компонент при бесконечно малом преобразовании координат (1.2) запишется как
Illar (1.3)
г; (х') =
Ta (х) + еТа
(запятой обозначена частная производная). Равенство (1.3) можно понимать и как определение велйчин Ta | которые Hfe зависят от конкретного выбора преобразования (возможные свойства симметрии т не учитываются!); более того, вся зависимость этих величин от координат Тя, так что если записать
идет от ,а
Т,\1
т= TbTa
(1.4)
9
то коэффициенты Ta |ь| 7 будут постоянными (строятсй из символов
Кронекера). Сказанное справедливо не только для тензоров, но и для тензорных плотностей и некоторых других объектов. Для символов Крис-тоффеля (т. е. коэффициентов связности в натуральном базисе) в выражении типа (1.3) появляется добавочное слагаемое:
Производная Ли ?v векторного поля v по векторному полю и определяется как и
где отображение индуцировано локальным диффеоморфизмом
= ехр(—fa). В локальных координатах {***}b окрестности точки
Отсюда после дифференцирования по Г в точке t = 0 для производной Ли следует выражение
Определение (1.6) допускает естественное обобщение на случай произвольного тензорного поля [148].
Эти же соображения можно физически наглядно выразить следующим образом. Пусть в некоторой области дано тензорное поле T, и его значения в двух бесконечно близких точках P и Q хотят сравнить наблюдатели, находящиеся в этих точках. Пусть у них имеется способ передавать численную информацию друг другу и каждый из них может измерить значения компонент поля T относительно некоторого координатного бази-
10
(1.5)
1.2. ПРОИЗВОДНАЯ ЛИ [156, с. 147; 46, с.130; 215]
(1.6)
^fvKof =Va(Xt) Jjf =
* = <*о> •
(?v)a = va — ua qv& = [и, v]a
или символически
Iv = [и, V].
(1.7)
и
са в своей точке. Если наблюдатели тождественны, то они должны пользоваться одинаковыми процедурами в своих построениях. Пусть наблюдатель P получил от наблюдателя Q результаты его измерений и построил в своей точке по этим результатам модель тензора Т. Из тождественности наблюдателей следует, что, если обозначить локальные координаты наблюдателя P через ,а наблюдателя Q — через {х'** } , будет
