Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
3-мерную область Z : ат
PU) = S і dsa(3. (5.20)
Э 2
В зависимости от конкретного геометрического смысла векторного поля, входящего в определение Wa (?), получаются различные сохраняющиеся величины. Так, если это векторное поле имеет смысл генераторов сдвигов, то соответствующий закон сохранения будет иметь смысл сохранения составляющих импульса системы. Забегая несколько вперед, заметим, что в § 6.2 с помощью теоремы Нётер сформулированы законы сохранения, в которых все сохраняющиеся величины определяются в "направлении" некоторого векторного поля. Они имеют вид законов сохранения энергии (6.19):
?$+•“« = 0
и импульса (6.26):
? P(Tj) +Ja(V) а = о.
*
Отсюда получаются соответствующие интегральные законы сохранения:
? !Kd3X =-; *adsa; (5.21)
$ 2 ' ЭБ
? І V (V) d3x = -J jads„. (5.22)
as
определяющие изменение энергии и импульса внутри 3-мерной области Z за счет потоков через границу. Отметим, что величины ^ и V связаны с W с помощью соотношений (использованы обозначения ли-монадного формализма § 1.7):
^=ЙРа($)Га; V(T1) =Я>“(т})Га; Ja(V) =W5(V)-
Тем самым устанавливается соответствие между ли монадными сохраняющимися величинами и одноиндексными. При этом видно, что |и ? до-
128
пускают запись через суперпотенциал / ат, если учесть градиентный характер векторного поля f и антисимметричность f ат ;
VaVfT-
Таким образом, в ли-монадном подходе квазилокальные сохраняющиеся величины возникают естественным образом. Для энергии и импульса, заключенных внутри области 2,
Є&) = IfttrWadSr PiZ) = S faTln)SadsT.
ЭЕ Э2
В тех случаях когда пространство-время допускает группу изометрий, никаких проблем с соответствующими законами сохранения нет. Наличие векторов Киллинга, имеющих ясный геометрический смысл, позволяет придать такой же конкретный смысл и сохраняющимся величинам. Естественным обобщением группы изометрий на случай произвольного пространства-времени является квазигруппа Пуанкаре, порожденная полями Якоби (см. § 5.2). Генераторы этой квазигруппы приводят к законам сохранения вида (5.19) — (5.22). При этом в соответствии с выбором различных генераторов получаются законы сохранения квази-локальных энергии, импульса и момента импульса.
С нашей точки зрения центр тяжести следует перенести с придумывания новых законов сохранения на обобщение группы Пуанкаре на случай искривленного пространства-времени.
Подход к законам сохранения с точки зрения квазигрупп преобразований представляется несколько необычным, но с большой степенью вероятности это единственный возможный путь обобщения группы Пуанкаре, да и не только группы Пуанкаре, а групп любых преобразований, на искривленное пространство-время. Конструкция квазигруппы, основанной на полях Якоби, допускает обобщение на произвольную физическую систему, лишь бы она была лагранжевой. Дело в том, что любая лагранжева система приводит к полям Якоби. Первая вариация дает уравнения "движения", а вторая — уравнение девиации (нужно рассматривать двупараметрическое семейство вариаций) [156].
Наши результаты перекликаются с исследованиями Диксона, Палмера, Штройбеля и Шаттнера [30, 97, 150], в работах которых были впервые использованы поля Якоби для определения сохраняющихся величин. Если z (т) определяет мировую линию наблюдателя, то, как было показано Диксоном, общее решение уравнения девиации геодезических, испущенных из z (г), записывается в виде
P(X) = Kf1vUt X)AV - h\(z, x)gv (z, х)в\
с начальными условиями i-^(z) =A*, Vp^xU) = В* . Тензоры К* и выражаются через мировую функцию Синга o(z, х) [123]:
н\(г, х) аХр (z, х) =-бМ;
К*хUt х) =HlxyUt x)o\U, х).
129
Тогда 4-импульс и момент импульса определяются с помощью выражений [30] :
Pa (z, 2): = J Ka TPxClsx ;
2 р
SaP (z, 2): = 2 іH V1 jxprfsP '
?
которые, конечно, в общем случае не удовлетворяют законам сохранения типа (5.19). Построение сохраняющихся (в смысле 4-мерной дивергенции) величин осуществляется с помощью процедуры "скелетони-зации" [30].
Глава 6
ЛИ МОНАДНЫЙ ПОДХОД К ПРОБЛЕМЕ ЭНЕРГИИ ИМПУЛЬСА
6.1. ЭНЕРГИЯ ОСТРОВНЫХ СИСТЕМ
Энергия определяется через интеграл по 3-мерной области, который, как правило, может быть с помощью теоремы Гаусса переведен в интеграл по 2-мерной поверхности, окружающей источники. Отсюда следует, что для пространственно замкнутого мира полная энергия равна нулю. По этой причине остановимся на открытых моделях с плоской асимптотикой, так как в этом случае понятие интегральной энергии содержательно.
Уточним понятие асимптотически плоского пространства-времени. Детальный анализ асимптотической структуры пространства-времени проведен в гл. 7. Здесь же достаточна наивная, но в целом верно отражающая суть дела точка зрения, основанная на представлении об асимптотически декартовой системе координат. В такой системе координат
4-мерная метрика и ее производные при г -* 00 ведут себя как
V V = 0{1/г,; V.« = 0(1/r2,; ^х = 0(1/г2>- <6-1>
Для 3-мерной метрики bjj, импульсов Trtj и функций темпа N и сдвига Nj справедлива следующая асимптотика:
