Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
bjj - Vjj = О (1/г); т/' = О (1/г2);
Л/ - 1 = O(Mr); (6.2)
Nk = О (1/г2); Ni = О (1/г);
Ni k = О (1/г2); Гу4 = О (1/г2).
Эти условия не ограничивают координатных преобразований х'М = № (х), в конечной области, но асимптотически функции должны
130
иметь вид [137]
f^M = AilvKv + зм + О (Mr);
Bjjffi (х) = Afiv + OiMr2);
(6.3)
dOdPfix М = 0 <1/г2 + е), е > О, где Aftv — матрица преобразований Лоренца; Sfi — произвольный по-
стоянный вектор. Для инфинитезимальных преобразований метрики и коэффициентов связности (символов Кристоффеля) [см. (1.11)]
мальные величины.
Следуя Л.Д. Фаддееву [137], обозначим через G бесконечно-пара-метрическую группу, порожденную этими преобразованиями. В этой группе есть нормальная подгруппа G0, порожденная преобразованиями вида (6.4), тождественными на пространственной бесконечности. Фактор-группа P = GZGq совпадает с группой Пуанкаре. Группа G является группой симметрии действия и уравнений движения, а группа G0 — калибровочной группой в асимптотически плоском пространстве-времени. Таким образом, наблюдаемые определяются с точностью до преобразований из группы Go-
Рассмотрим, анализ Йорка конформных свойств энергии [95]. Выражение АДМ для энергии (2.45) зависит явно только от внутренней геометрии сечений Zf и неявно — от внешней геометрии (через
решение уравнений связей). Сравним энергии, определяемые различными начальными данными, для которых внутренние геометрии соотносятся конформно,Ь/у= </>4bjj. Тогда из (2.45) следует, что
(6.4)
Здесь
E = E0 - (4/к) a dl
OO
ИЛИ
E - E0 = - (4/к) $ і d I.
OO
Отсюда с помощью теоремы Гаусса получаем:
(6.5)
Zr
В случае плоской фоновой метрики интегральная энергия
(6.6)
131
Таким образом, в определении энергии по Йорку требуется, чтобы пространственная геометрия была асимптотически конформно-плоской.
Это более слабое условие, чем требование асимптотически плоской геометрии.
Рассмотрим максимальное сечение Ef, которое определяется условием Htj = Ot с топологией R3 х Т. Предположим, что асимптотически источники отсутствуют. В этом случае р!1 = 0 [см. определение p,J
в (2.46) ] и из (2.46) следует, что Ь/у удовлетворяет конформному уравнению Киллинга
где 1 на пространственной бесконечности, и для полной энергии
получаем выражение через плотность источников
Легко видеть, что (6.6) переходит в ньютоновское определение гравитационной энергии системы, если учесть асимптотическое поведение \р : \р ъ 1 — (1/2) Ф, где Ф — ньютоновский потенциал;
Роль поверхностных интегралов в определении энергии. Впервые наиболее полное исследование роли дивергенций в вариационном принципе было произведено в работах Редже и Тейтельбойма [113]. (Позднее аналогичное исследование было проведено Гиббонсом и Xoyкингом.) Их анализ основывался на требовании инвариантности действия относительно группы асимптотических симметрий Gt определенной выше. Рассмотрим используемый обычно в ОТО лагранжиан ^ = yj—g R- С учетом асимптотических условий (6.1), (6.3)
Отсюда после интегрирования (с использованием теоремы Гаусса) вытекает, что 5^/ Ф 0, т.е. действие не инвариантно относительно преобразований из группы 6.Этот вывод справедлив также и для подхода АДМ. Неинвариантность действия в том и другом случаях связана с наличием в 3-мерной кривизне линейных по символам Кристоффеля членов, которые могут быть выделены в виде дивергенции. Отбрасывание дивергенции позволяет перейти к лагранжиану, обеспечивающему инвариантность действия относительно группы асимптотических симметрий.
Найдем изменение функции Гамильтона при варьировании канонических переменных:
(6.7)
Гамильтонова связь (2.47) принимает вид
о
8Д у = —2 Kip р ,
(6.8)
E= J </Г1 yfb pd3x . Sr
(6.9)
(6.10)
132
- $dsp [2NkSnkp + (2NkTtip - Np n'k)8bjk], Giikp : = (\fbl2) (biktjp + bipbik — 2b,,bkp).
(6.11)
(6.12)
Используя асимптотические условия (6.2) и уравнения поля, для вариации действия получаем выражение в виде
2к«/ = -Idti dspGiJkp8bij\k . (6.13)
Правая часть этого уравнения совпадает с (2.45), если предположить, что асимптотически = Ьц -щ-. На основании этого Редже и Тей-тельбойм делают вывод о необходимости вычитания дивергенции из гамильтониана и полагают
H=H + Elbij), (6.14)
где
E [bjj] = §ds/( {bj/c^ f — bjj0 к). (6.151
Это выражение после деления на 2к совпадает с определением энергии по АДМ.
Таким образом, и анализ Йорка, и анализ Редже и Тейтельбойма приводят к заключению о необходимости вычитания дивергенции (6.15), при определении энергии. Отметим также, что энергия АДМ совпадает с ее выражением через псевдотензор энергии-импульса Ландау-Лифшица.
Основной недостаток энергии АДМ состоит в том, что это выражение явно нековариантно и требует оставаться в классе асимптотически декартовых координат. Можно получить ковариантное выражение для энергии, если предположить, что пространство асимптотически кон-формно-плоское. В этом случае из (6.7) вытекает, что
