Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Следующий этап состоит в определении функции Ф и вектора W как решений дифференциального уравнения (6.16). Для них находим \лН" = NrB^ и Ф =N. С учетом этих соотношений гамильтониан гравитационного поля для решения Шварцшильда запишется как
^tfg - 4\/ь A/V, или
Vjfg - 4>//Г (/VGa) |а.
Отсюда после интегрирования получаем массу источника поля Шварцшильда:
Є - (2/К) f[(-ff)1/2Ga] „d3x - (2/к) / y/bGads„ = m.
S ' ъъ *
Это выражение совпадает с определением интегральной массы через одноиндексные сохраняющиеся величины типа Комара—Пирани.
Найдем динамические характеристики гравитационного поля, а именно, плотность вектора Пойнтинга и плотность импульса. Исходя из формул (6.32), (6.33) и (6.42), получаем:
«<¦ --Zr («Я, * .«V) - 2I (SZ'*)- І
Vr 4 7 к 5 (6.43)
’“ТТ" ("^lv + • <6,44)
Пусть плоская гравитационная волна распространяется в направлении векторного поля в = діди = Art, где и — параметр вдоль конгруэнции. Предположим, что метри-ка УNnK зависят только от запаздывающего времени t—u (волна типа Бонди [73]). В этом случае изотропный вектор X - ? + в является вектором Кил-линга и, как легко видеть,
= °*
Учитывая это соотношение и то обстоятельство, что в рассматриваемом случае
2R = Pg « Afl - Ф = О и JT^ ^ = 0
находим:
Цд = (2N/y/b)V^Vltr(lv; S0 = {2N/\fb)‘nf>nTyLvea.
Отсюда следует, что
?&+*“= О, (6.45)
%
140
Аналогично для плоУности импульса гравитационного поля найдем выражение
V (TJ) = (IW2)^aTJe. (6.47)
Полученные законы сохранения (6.45), (6.46) можно переписать в виде
(^Xa) a=°; [P(IJ)Xa] a = О.
В этой записи прослеживается тесная аналогия с электродинамикой [см. (6.36), (6.37) ].
6.4. НЬЮТОНОВСКИЙ ПРЕДЕЛ ТЕОРИИ ЭЙНШТЕЙНА
Классическая формулировка ньютоновской теории тяготения предполагает, что существуют мировое время Tt совокупность галилеевых (декартовых) координат и ньютоновский потенциал Ф, удовлетворяющий уравнению Пуассона: АФ = 4тгур. Свободные частицы под действием сил тяготения движутся в соответствии с уравнением
Cl1XiZdt1 = - ЭФ/Эх' {j* 1,2,3).
Кроме того, определена также процедура измерения: "идеальные часы" отсчитывают мировое время, а "идеальные линейки" измеряют длину в галилеевых системах координат.
Геометрическое содержание ньютоновской теории тяготения было вскрыто впервые в работах Картана [53], а затем Траутмана (см. [26]) и др. В этом подходе предполагается, что движение частиц под действием сил тяготения можно рассматривать как геодезическое движение в искривленном пространстве-времени1. Обсудим геометрические особенности ньютоновского пространства-времени, следуя Кухаржу [60]. Имеются три независимые структуры: пространственная контравариант-
ная метрика да@ (а, /3 = 0, 1, 2, 3), 3 + 1-расщепление осуществляется с помощью сечений T = const (Т — мировое время); временная метри-кз h ар и симметричная связность А . Эти структуры удовлетворяют следующим постулатам.
А. Метрика двырождена с сигнатурой (0, 1, 1,1). Аналогично временная метрика h ар вырождена с сигнатурой (1, 0, 0, 0). Отметим, что
аТ р. Эти две метрики взаимно ортогональны: gaph = 0.
Б. Связность V совместима с обеими метриками, т.е: Vg = Vh = 0.
1 Использование идей Картана для исследования ньютоновского предела ОТО с помощью изотропных гиперповерхностей CM. в [17].
141
В. Тензор кривизны аффинной связности имеет следующие свойства: ha[pR(X6]iJ.v = °' ftl0V1S = °-
Система аксиом А—В дополняется также предположением, что расстояния измеряются "идеальными линейками", время — "идеальными часами", а свободные частицы движутся по геодезическим.
Необходимо отметить, что в ньютоновом пространстве-времени нельзя ввести невырожденную пространственно-временную метрику, а можно определить только невырожденную пространственную 3-метрику. Действительно, в галилеевых системах координат отличны от нуля лишь компоненты Г^о коэффициентов связности. Простые выкладки показывают, что предположение о существовании невырожденной 4-метрики приводит к Rfc0I0 Ф —Rokio* Этот результат противоречит свойствам симметрии тензора Римана. Таким образом, ньютоновская теория тяготения опирается скорее на аффинную, чем на метрическую структуру пространства-времени. Кроме того, как показано ниже, предположение
о плоском 3-мерном пространстве (неизбежное в подходе Картана) несовместимо с уравнениями Эйнштейна, так как в этом случае плотность источников гравитационного поля была бы равна нулю.
Имея в виду дальнейший предельный переход к теории Ньютона, предположим, что тензор скоростей деформации XaQ равен нулю. В этом случае из уравнений Гаусса—Кодацци следует, что
3R = R - .
Введем следующие обозначения:
Vflr = р - т'
где
3T-= -ьа$тф; P= TlivW-
плотность источников гравитационного поля. Тогда уравнения Эйнштейна запишутся в виде
3R = 2кр. G1Ifl= (к/2) (р + 3Г). (6.48)
Отсюда следует, что предположение о плоском 3-мерном пространстве приводит к исчезновению источников гравитационного поля (р = 0). Таким образом, корректный переход к ньютоновскому пределу в ОТО должен осуществляться с учетом ненулевой кривизны 3-мерного пространства — факт, ранее ускользавший от внимания.
