Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Для симметричных во времени начальных данных IxaQ = 0) 3-мерная геометрия конформно-плоская [132]. Сделаем конформное преобразование Ьар = ?22Ьар (соответственно, ba$ = ST2 Ьа@), где Ьар — плоская метрика. Для конформно преобразованной скалярной кривизны 3A? по-
142
лучаем выражение
3R = 4П(0| AftrJT* - 2Q-4Sl aSl pba(}. (6.49)
Здесь вертикальной чертой обозначена ковариантная производная отно-
сительно фоновой метрики Ьф. Перепишем (6.49) как
3R = -4ІГ3ДІ2 + 2fl4nfi )2, (6.50)
О О
где А — оператор Лапласа относительно метрики Ьф (flnfi)2: = (V lnfi) a (vtnfi).
Уравнения Эйнштейна с учетом конформного преобразования имеют вид:
р = -(2/к)ST3ASl + (1/к) (VInfi)2, (6.51)
р + 3T = (2/к) [AfnN + (V InM2]. (6.52)
Проинтегрируем (6.51) по области ? С Sf:
J Ip------— (V In Sl)2]dV = -(2/к) / A SldV.
2 к х
Интеграл в правой части можно перевести в интеграл по границе
(2/к) SASldV = (2/к) J VfiA0Ts.
Z Э 2
Отсюда следует, что в случае островной системы градиент функции SI ведет себя асимптотически как У SI « ут/г2, где л? — масса источника.
При этом видно, что гравиатация оказывает экранирующее действие:
масса источника эффективно уменьшается за счет члена — (1/к) (V Infi)2. Поэтому можно считать, что выражение
W= - (1/к) (VInfi)2 (6.53)
описывает плотность энергии гравитационного поля. В ньютоновском
пределе (г °°)w переходит в известное выражение [61, с. 433])
W -*> Wn ----------— (УФ)2, (6.53а)
8 тту
где Ф — ньютоновский потенциал. Заметим, что плотность энергии гравитационного поля связана не с ускорением, как это принято считать, а с конформной частью 3-геометрии (исследование связи между конформной 3-геометрией и ньютоновским пределом см. также в [95]).
Перепишем уравнения (6.51), (6.52) в точном (не асимптотическом) виде:
ST3 ASl = -(к/2) (р + IV); (6.54)
ДІп/V = (к/2) (р + 3T + 2w), (6.55)
143
где
w = - (1/к) (V Inft)2; W = - (1/к) (VInA/)2 ,
причем асимптотически w = ил Уравнение (6.54) определяет геометрию 3-пространства (через SI). В его правую часть плотность энергии гравитационного поля входит равноправно с плотностью энергии других полей. Это уравнение может рассматриваться как обобщение уравнения Пуассона, учитывающее "кулоновскую часть" гравитационного поля. В свою очередь, уравнение (6.55) есть обобщение уравнения Пуассона, где вклад в источники дает не только плотность энергии гравитационного и негравитационных полей, но также тензор напряжений. Тензор напряжений 3tuv гравитационного поля можно ввести из условия равновесия
источников и гравитационного поля + = 0 — старая и забытая
идея Лоренца. Он определяет уже 4-мерную геометрию (через N и SI). Конечно, это деление в какой-то мере условно, так как в 4-мерную геометрию дает вклад и плотность энергии гравитационного поля (через Щ. Однако на 3-мерную геометрию тензор напряжений гравитационного поля и других полей влияния не оказывает. Этот вывод перекликается с результатами [23], где было показано, что кривизна 3-мерного пространства не связана с локальным принципом эквивалентности (в духе лифта Эйнштейна), но зависимость хода часов от гравитационного поля является его прямым следствием. Действительно, собственное время ds = Ndt и ускорение наблюдателя G = — V InA/ связаны с нормирующим множителем N. В связи с полученными результатами становится понятным, почему плотность энергии гравитационного поля по Пирани [107], совпадающая с 2w, отличается в 2 раза в ньютоновском пределе от wN.
Глава 7
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ
7.1. ПРИЧИННОСТЬ, ГОРИЗОНТЫ, БЕСКОНЕЧНОСТИ
То обстоятельство, что мы живем в мире с индефинитной метрикой, приводит к совершенно неожиданным следствиям. Во-первых, в пространстве-времени локально определено понятие светового конуса. В соответствии с нашим выбором сигнатуры (+, —, —, —) точки, лежащие внутри светового конуса, отделены от вершины интервалом ds2 > 0, а точки, лежащие вне конуса — интервалом ds2 < 0.
Наличие светового конуса тесно связано также с предельной скоростью распространения сигналов — скоростью света. События (точки на про-странственно-временной диаграмме), находящиеся внутри конуса, могут быть связаны причинно-следственной связью с событием в вершине конуса, а события, лежащие вне конуса, не могут. Таким образом, существование светового конуса и предельной скорости распространения сигналов приводит к принципу локальной причинности, в силу которого события могут быть связаны причинно-следственной связью, если
144
они могут быть соединены временноподобной или изотропной кривой. Поскольку конус является конформно-инвариантным объектом, то изучение причинной структуры сводится фактически к исследованию конформной геометрии многообразия Ш . Вопросы глобальной причинности достаточно трудны для изложения и за деталями мы отсылаем читателя к книгам Пенроуза [101] и Хокинга и Эллиса [148].
Для исследования структуры бесконечности Пенроузом развита конформная техника. Основная идея заключается в том, чтобы от физического многообразия Ш (пространства-времени) с помощью конформного преобразования метрики д = $12д перейти к нефизическому многообразию Ж с границей Xr , на которой конформный множитель ft обращается в нуль. Бесконечность изображается точками границы & и, вместо того чтобы изучать физические поля на бесконечности, изучают их образы вблизи#. Л
