Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
6Wb// = - (2/3) bU vS^a = -2Фbjj ; (6.16)
коэффициент 2 введен сюда из соображений удобства. Функция Ф асимптотически ведет себя как Ф -> 1 (г -> °°).
Подставляя (6.16) в (6.13), находим
Ы = -{2/K)Sdti Vb v<t>Ads ,
Следовательно, для того чтобы действие было инвариантно относительно группы конформных преобразований — группы асимптотических симметрий (доказательство того, что группа конформных преобразований действительно является группой асимптотических симметрий, отложим
133
до гл. 7), необходимо в функцию Гамильтона добавить интеграл вида E = (а/к) Id3X \/b АФ = (а/к)/\/Б УФ *d$,
где коэффициент а определяется из требования инвариантности действия относительно преобразований (6.16) и равен 2.
Окончательно для функции Гамильтона получаем выражение в виде
H = H + E (Ф).
Здесь
2
?{ Ф) = — f y/bv<pAds . (6.17)
К оо
Легко понять, что оно тривиальным образом обобщается на случай произвольного расщепления пространства-времени с помощью сечений Zt:
E (Ф) = (2/к) J ДФdV . (6.18)
Sr
Наше выражение для энергии отличается от выражений АДМ и Йорка (6.5). Как выяснится в § 6.3 и 6.4, оно фактически совпадает с определением энергии по Комару—Пирани (см. § 3.4), и тем самым устанавливается связь между энергией АДМ и одноиндексными сохраняющимися величинами
6 2 ТЕОРЕМА НЁТЕР И ЛИ МОНАДНЫЙ ФОРМАЛИЗМ
Лагранжев подход. Применим теорему Нётер в форме, указанной в § 3.1, в рамках ли-монадного формализма. Пусть лагранжиан зависит также и от вторых производных,
? = ? M ?, Ajj A^ й jj, ?А^)
(такой вид имеет, например, лагранжиан гравитационного поля в лимонадной формулировке). Из требования его инвариантности относительно инфинитезимальных сдвигов вдоль векторного поля ? получаем слабый закон сохранения [85, 87]
|^+ *а = °' (6-?9)
где tSf — гамильтониан (1.98);
ЗС и 0
Sa = ----------?АВ + -------------- ?АВ а (6.20)
® Аё, a S ^aB, a, P
- плотность вектора Пойнтинга.
При анализе теоремы Нётер для пространственных сдвигов вдоль векторного поля % д (т7, ?) = 0, приходим к слабому закону сохранения
134
дХ
S
Здесь
?P(v) + Ta(V) ц +
Э ?а
%
В
АпЛ) Ав 0
(6.21)
дХ
р (V) = -S--------? A1
Hab V 1
Ta(V) =
iSX
8а
? An +
Э*
В, її П дАВ, ІЗ, В V
?А3
, г
(6.22)
В случае конгруэнций, образующих двупараметрическое семейство кривых, поля Т7 и % коммутируют: [17, ?] sOn (6 21) переписывается как
?Р(V) + Ta(V) а = 0. %
(6.23)
Дальнейший анализ будем проводить в предположении, что [г\, = 0.
Тождества Нётер для рассматриваемого случая имеют вид (ср. с симметричным формализмом, гл. 3):
Ьав
АВ, P +!
( 8Х З, IЛ Da = bVLa Da-
Ав'о},трр иа,арр'
*В
ml Su70 + гш1\рьар{ = о.
3M^ + 3<(?р,Р^ - о, •* = 0.
(6.24)
где
8#
&Д ї
35*
SAg
- ?
ЪХ
; =
, |Т ~ Ir
Ч» = р«* 1
^3A
В'а
34о
3ViaT =
5SJC
5^g
3«х
Эй
Ълв,р.ъ
aB, а, р'
б/* В. а
Ъа
Ia Ъ Abtii
(3^Ifl)ppS^ 1
Bf pt a N 1PAP
*8, а +
135
В основу определения плотности импульса положим требование линейности относительно векторного ПОЛЯ 7? (величина P (т\) этим свойством не обладает). Из этих соображений определим плотность импульса в направлении векторного поля т) как
аэ. р-т°р.°У ,в-26'
(аналогичную конструкцию в механике сплошных сред называют плотностью волнового импульса).
Используя тождества Нётер (6.24) и определение (6.25), перепишем (6.23) в виде
?*(т?) + 7a(v) a = 0. (6.26)
%
где
7 * (TJ) -:3 9 jj rP + PI (3Wif Va + 23П fW V0f х): (6.27)
3Jfp = ? Jjj — плотность симметричного тензора энергии-импульса.
Из (6.19), (6.26) получим следующие интегральные законы сохранения:
? S%d3x = -S Sads„; (6.28)
% S7 92
? IVWd3X = - J 7a(v)dsa. (6.29)
? 2 32
Пусть векторы в/ образуют пространственный базис на Ef. В этом случае для компонент плотности импульса поля P1- = PIe., и соответствующие законы сохранения имеют вид (в случае натурального базиса Pf определяют координатные компоненты плотности импульса
поля):
?Pi+J?„=0; (6.30)
^ Ir **
? f1>id3x=- S ^fdsa. (6.31)
? 2 92
Существенно, что относительно общих координатных преобразований величины 9 (17), , P (17) ведут себя как скалярные плотности ве-
сом 1, а величины Ja (17), Ta(Ti)tSa — как векторные плотности ве-
сом 1 (в случае, если лагранжиан — скалярная плотность), и полученные законы сохранения ковариантны. Заметим, что на Sf переход от одного базиса к другому осуществляется по правилу е'. = aiej. Тогда для Vj закон преобразования запишется как P) = Линейный ха-
рактер этого преобразования важен для согласования наших определений и известных в специальной теории относительности.
Гамильтонов подход. Для простоты рассмотрим случай с лагранжианом, не зависящим от вторы* производных, ? = <? {Ag, Ag 7Г ). Законы сохранения энергии и импульса имеют прежний вид, изменяются только определения величин, входящих в этй законы:
ЪАЪ,а ?
*(ч) = HrsAi р -шар а)пр;