Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мицкевич Н.В. -> "Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура" -> 53

Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.

Мицкевич Н.В., Ефремов А.П., Нестеров А.И. Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура — М.: Энергоатомиздат, 1985. — 184 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikapoleyobsheyteorii1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 75 >> Следующая

6Wb// = - (2/3) bU vS^a = -2Фbjj ; (6.16)

коэффициент 2 введен сюда из соображений удобства. Функция Ф асимптотически ведет себя как Ф -> 1 (г -> °°).

Подставляя (6.16) в (6.13), находим

Ы = -{2/K)Sdti Vb v<t>Ads ,

Следовательно, для того чтобы действие было инвариантно относительно группы конформных преобразований — группы асимптотических симметрий (доказательство того, что группа конформных преобразований действительно является группой асимптотических симметрий, отложим

133
до гл. 7), необходимо в функцию Гамильтона добавить интеграл вида E = (а/к) Id3X \/b АФ = (а/к)/\/Б УФ *d$,

где коэффициент а определяется из требования инвариантности действия относительно преобразований (6.16) и равен 2.

Окончательно для функции Гамильтона получаем выражение в виде

H = H + E (Ф).

Здесь

2

?{ Ф) = — f y/bv<pAds . (6.17)

К оо

Легко понять, что оно тривиальным образом обобщается на случай произвольного расщепления пространства-времени с помощью сечений Zt:

E (Ф) = (2/к) J ДФdV . (6.18)

Sr

Наше выражение для энергии отличается от выражений АДМ и Йорка (6.5). Как выяснится в § 6.3 и 6.4, оно фактически совпадает с определением энергии по Комару—Пирани (см. § 3.4), и тем самым устанавливается связь между энергией АДМ и одноиндексными сохраняющимися величинами

6 2 ТЕОРЕМА НЁТЕР И ЛИ МОНАДНЫЙ ФОРМАЛИЗМ

Лагранжев подход. Применим теорему Нётер в форме, указанной в § 3.1, в рамках ли-монадного формализма. Пусть лагранжиан зависит также и от вторых производных,

? = ? M ?, Ajj A^ й jj, ?А^)

(такой вид имеет, например, лагранжиан гравитационного поля в лимонадной формулировке). Из требования его инвариантности относительно инфинитезимальных сдвигов вдоль векторного поля ? получаем слабый закон сохранения [85, 87]

|^+ *а = °' (6-?9)

где tSf — гамильтониан (1.98);

ЗС и 0

Sa = ----------?АВ + -------------- ?АВ а (6.20)

® Аё, a S ^aB, a, P

- плотность вектора Пойнтинга.

При анализе теоремы Нётер для пространственных сдвигов вдоль векторного поля % д (т7, ?) = 0, приходим к слабому закону сохранения

134
дХ

S

Здесь

?P(v) + Ta(V) ц +

Э ?а

%

В

АпЛ) Ав 0

(6.21)

дХ

р (V) = -S--------? A1

Hab V 1

Ta(V) =

iSX



? An +

Э*

В, її П дАВ, ІЗ, В V

?А3

, г

(6.22)

В случае конгруэнций, образующих двупараметрическое семейство кривых, поля Т7 и % коммутируют: [17, ?] sOn (6 21) переписывается как

?Р(V) + Ta(V) а = 0. %

(6.23)

Дальнейший анализ будем проводить в предположении, что [г\, = 0.

Тождества Нётер для рассматриваемого случая имеют вид (ср. с симметричным формализмом, гл. 3):

Ьав

АВ, P +!

( 8Х З, IЛ Da = bVLa Da-

Ав'о},трр иа,арр'



ml Su70 + гш1\рьар{ = о.

3M^ + 3<(?р,Р^ - о, •* = 0.

(6.24)

где

8#

&Д ї

35*

SAg

- ?

ЪХ

; =

, |Т ~ Ir

Ч» = р«* 1

^3A

В'а

34о

3ViaT =

5SJC

5^g

3«х

Эй

Ълв,р.ъ

aB, а, р'

б/* В. а

Ъа

Ia Ъ Abtii

(3^Ifl)ppS^ 1

Bf pt a N 1PAP

*8, а +

135
В основу определения плотности импульса положим требование линейности относительно векторного ПОЛЯ 7? (величина P (т\) этим свойством не обладает). Из этих соображений определим плотность импульса в направлении векторного поля т) как

аэ. р-т°р.°У ,в-26'

(аналогичную конструкцию в механике сплошных сред называют плотностью волнового импульса).

Используя тождества Нётер (6.24) и определение (6.25), перепишем (6.23) в виде

?*(т?) + 7a(v) a = 0. (6.26)

%

где

7 * (TJ) -:3 9 jj rP + PI (3Wif Va + 23П fW V0f х): (6.27)

3Jfp = ? Jjj — плотность симметричного тензора энергии-импульса.

Из (6.19), (6.26) получим следующие интегральные законы сохранения:

? S%d3x = -S Sads„; (6.28)

% S7 92

? IVWd3X = - J 7a(v)dsa. (6.29)

? 2 32

Пусть векторы в/ образуют пространственный базис на Ef. В этом случае для компонент плотности импульса поля P1- = PIe., и соответствующие законы сохранения имеют вид (в случае натурального базиса Pf определяют координатные компоненты плотности импульса

поля):

?Pi+J?„=0; (6.30)

^ Ir **

? f1>id3x=- S ^fdsa. (6.31)

? 2 92

Существенно, что относительно общих координатных преобразований величины 9 (17), , P (17) ведут себя как скалярные плотности ве-

сом 1, а величины Ja (17), Ta(Ti)tSa — как векторные плотности ве-
сом 1 (в случае, если лагранжиан — скалярная плотность), и полученные законы сохранения ковариантны. Заметим, что на Sf переход от одного базиса к другому осуществляется по правилу е'. = aiej. Тогда для Vj закон преобразования запишется как P) = Линейный ха-

рактер этого преобразования важен для согласования наших определений и известных в специальной теории относительности.

Гамильтонов подход. Для простоты рассмотрим случай с лагранжианом, не зависящим от вторы* производных, ? = <? {Ag, Ag 7Г ). Законы сохранения энергии и импульса имеют прежний вид, изменяются только определения величин, входящих в этй законы:

ЪАЪ,а ?

*(ч) = HrsAi р -шар а)пр;
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 75 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed