Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
\?^Х1Р)=у]Ы(\Р\\Х\-(РгХ))1 Т?<8) = -П1п2\Р[\Хи
а амплитуда сферической волны определяется соотношением
fN(X2P)=*
/злг — 4 \ 2 е
¦ -—™ве 4- (5-38)
6 \ 2
^2|P|sin24)
При 8 = 0, cos 0 = (X, Р) эта амплитуда имеет сильную особенность. Нетрудно убедиться, что последняя неинтег-рируема на единичной сфере \Р\ — 1.
14 С. П, Меркурьев, Л. Д. Фаддеев
210 ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЁННЫХ ЧАСТИЦ
А 2 + иА ! {У±){Х,Р)Ч$)*(Х',Р)аР
где сумма по собственным значениям оператора (5.34)
Х^ 5=5 / злг_4\21 / — 0414 2Л . .. л + —)
отлична от нуля лишь при д0 < 0. Справедливы также равенства
Км (X* Х'г 2) =
ту1—1
= (—2^г"й") 2 е1 »» = злг—3. » = 3,9,...,
т— 2
^(Х1Х'1г) = (-Х^.) 2 Св(а.1у); ^ = 6,12,...,
(*, У) = ^^Г^ V* (у* - *2) х
ХФ(1 + «ГЦ 2г - * У~г (х + у)) ? (1 + 2, - ? /ф - у)} Са (*, У) =
(1+)
~1 8111 я (14 +1/2) 3 вЬ^ + Ь) X
V (г_««мл^-1/2(-^(^-^)1/а^-1)1/2)' * *Ь ' 4 Уя ± , у; (х2 _ Л1Л (с, _ 1)1Лр '
(5.40
где ж—Ш + |Х'|, 1/=|Х —Х'| и через Л, обозначена функция Бесселя мнимого аргумента. Таким образом, в отличие от двухчастичной задачи, функция Грина для кулоновского потенциала в 1\3*-3 задается довольно громоздким интегральным представлением. Однако, если N нечетное, N = 21+ 1, это лредставление можно упростить
Функцию Грина 11ц(Х, X', г) можно задать с помощью спектрального представления
|ТА(Х)Т* (X')
§ 1. ДВЕ ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ
2Ц
и явно выразить /?*(Х, X', z) через вырожденные гипер-геометрическде функции.
Отметим, что функция /?*(Х, X', г) является гладкой, если координаты X и X' не совпадают, ХФХ', а при равных значениях этих координат, X —X', имеет такую же полярную особенность, как и свободная функция Грина:
г (ш ~ 5) -злм-з ^(X, Х\ 2)--,^,1., (5.41)
| х - X' |зЛГ~5*
Опишем асимптотические представления для функции Rs (X, X', z). Проведем через точку X и начало координат прямую s(t) =tX. Множество точек Хи расположенных-в окрестности этой прямой по другую сторону от начала координат и удовлетворяющих неравенству
1X1 |Х'| + (Х,Х')^
^(!Xf+|X'l)1+\
v > 2/3,
мы будем называть особой областью QS(X, X'), отвечающей вектору X (рис. 19). Если переменные X и X' стремятся к бесконечности, причем второй аргумент X' функции Грина не располагается в
особой области, то i?^(X, X', z) асимптотически принимает эйкональный вид:
RN(X, X', z) ~сГ)ехР0У11Х-хч}ф;у (Z> z,( г))
|Х — Х'\ 2
(5.42)
Рис. 19
ЗЛГ-6 2
0N(Z1X'1z) = eXp{i
-i-^(SN-e)
е 4 И
% 1п \Х\\Х-Х'\ + {Х,Х-Х'<\ 2Y'z \Х'[\Х-Х'\ + (Х',Х-Х')\
212
ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
Если один из аргументов, например X, фиксирован, а второй стремится к бесконечности, то функция Грина становится искаженной сферической волной, амплитуда которой выражается через волновые функции ^^(Х, Р): Х',Е + Ю)~
|Х'1 2
где Р = +УЕХ'. Асимптотика функции Грина при |Х/|->-©о получается из этой формулы с помощью равенства
/?#(Х, X', ъ) =.йаг(Х', X, х).
Если, наконец, переменные X и X' стремятся к бесконечности и находятся при этом в окрестности направления X, но по одну сторону от начала координат, т. е.
(X, Х,)>0,
(5.43)
1X1 1X1 - (X, X') ^ (1X1 + |Х'|)1+\ V > о,
то асимптотика функции Грина В.х при |Х|, |ХЛ| ->¦ °° определяется выражением
(X, X', г) ехр {* ^ 1п (5.44)
где В.(оЮ (X, X', г) — функция Грина оператора Н0.
Итак, мы перечислили общие свойства функции Грина Д^(Х, X', В случае необходимости более детальная информация о ее поведении может быть получена с помощью интегрального представления (5.40).
§ 2. Координатная асимптотика волновых функций для системы трех заряженных частиц
Основная часть этого параграфа посвящена исследованию асимптотики волновых^ функций ЧЛДХ, Р), отвечающих процессам с тремя свободными частицами в начальном состоянии. Случай функций типа ЧГЛ(Х, рА), А Ф 0, которые описывают процессы (2 -> 2) и (2 ->¦ 3), является более простым в техническом отношении, и мы рассмотрим его в конце параграфа. При этом мы оставляем, пока в стороне вопросы об оправдании асимптоти-
§ 2. АСИМПТОТИКА ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ
213
ческих формул и о существовании таких волновых функций.
Эйкональные приближения. Приведем сначала эвристические соображения, которые лежат в основе используемого здесь метода построения асимптотических формул. В случае нейтральных частиц для построения асимптотик мы воспользовались методом преобразования Фурье, опираясь на изученные ранее свойства ядер волновых операторов в импульсном представлении. Этот метод не может быть использован в случае трех заряженных частиц, поскольку, как мы уже отмечали, нам неизвестны свойства ядер резольвенты или Г-матрицы при положительных энергиях. Однако данный способ исследования координатных асимптотик решений дифференциальных уравнений не исчерпывает всех возможностей. Напротив, если мы найдем асимптотику с помощью независимых соображений, то мы сможем исследовать и свойства Г-матрицы в импульсном представлении, делая обратное преобразование Фурье. Посмотрим,- какие методы можно использовать с этой целью.
