Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
§ 1. Две заряженные частицы
Рассмотрим сначала систему двух заряженных частиц и покажем на ее примере некоторые особенности задачи рассеяния в конфигурационном пространстве.
Волновые функции. Заметим прежде всего, ,что волновые функции для системы двух частиц, взаимодействие между которыми задается кулоновскими потенциалами, можно найти в явном виде, так как уравнение Шредингера допускает разделение переменных. Действительно, введем параболические координаты § и ?:
где вектор к задает направление оси г, и обозначим че-13*
196 гл.. v. системы заряженных частиц
рез ф угол поворота вокруг этой оси. В этих переменных уравнение Шредингера
имеет решение в виде произведения плоской волны на функцию, зависящую только от координаты §:
г|)с(я, /с)=-ег(х'Л)фс(§, 7с>, (5.1)
которая удовлетворяет вырожденному гипергеометриче-скому уравнению
бФс (I) + (1 - Ч к \ I) Ф; (?) - Фс (Е) = 0.
Волновой функции %(х, к) отвечает регулярное решение этого уравнения, которое выбирается в следующей нормировке:
фс(|, А)=>в-яч/Т(1 + 1Т1)Ф(-1Т11 1, ШЪ\ (5.2)
где вырожденная гипергеометрическая функция Ф(а, Ь, ?) определяется рядом
со
и через т] обозначен характерный кулоновский параметр
п
Я=Я2ГЛГ
При ^ -> ©о для Ф справедливо асимптотическое представление
ф («1 ^ *) ~ г^=1) е~а1п(_г) + 0 +
+ в«+(«-ь)1ш + о (*-!)). (5.3)
Поэтому волновая функция ^с(х, к) при больших значениях \к\Ь, равна сумтде
фс (х, к) = ехр{I (х, к) + ш(х, к)} (1 + 0((\к\ +
+ /с(Я/с)еХР(^";:|^("/С)}(1 + 0((|.|Е-1))). (5.4) Здесь первое слагаемое принято называть искаженной
§ 1. ДВЕ ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ 197
плоской волной, а второе — искаженной сферической волной. Кулоновские фазы w и ш0, искажающие плоские и сферические волны, даются равенствами
w(x, к) =* т]1п (|ft[ \х\ — (к, ж)),
w0(x, к) = — т]1п2|/с| Ы,
а амплитуда искаженной сферической волны — равенством
/с (я, &) =-11 , q ехр [ — щ In sin2-|- + 2ioX
2\к\ sin2 -у J
(5.5)
где cos 0 = (х, к) и б0 = arg Г(1 + ir]).
Отметим, что эти асимптотические формулы верпы лишь при достаточно больших значениях импульсной переменной, удовлетворяющей неравенству
|A|>?-2/8+», 8>0. (5.6)
Другими словами, при \к\ -> 0 область действия асимптотики (5.3) удаляется на бесконечность. При малых импульсах /с, ограниченных условием
|fc|=*0(6-s/4+e), (5.60
волновая фупкция if>c(#, А) принимает квазиклассический вид:
$е(х, к) ~ eim/2T(l + «л)в"яч/2/0(Уад1 (5.7)
где через /0 обозначена функция Бесселя. В переходной области действуют весьма громоздкие представления, и мы не будем приводить их здесь. Отметим, что в случае притяжения, п < 0, волновые функции быстро осциллируют и растут при к -*¦ 0:
фв(ж, к) ~ 12лт|Г*/2е-*«чК1п|Л|-1) .в*|*1б/у0(У2Ы|), (5.8)
а в случае отталкивания, п > 0, экспоненциальпо убывают:
4>0(з, /с) - У2ят|в-»л+*ч(1пч-1) . в*|*1б/*/0(У2и|). (5.9)
Мы построили волновые функции, которые описывают расходящиеся рассеянные волны. Волновые функции $(~4xt /с), отвечающие сходящимся сферическим волнам,
193
tSt. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
задаются с помощью соотношения,
ф(->(яв A)-**Uf -к). (5.10)
Можно установить, что эти функции с точностью до множителя (2л)~3/2 совпадают с ядрами модифицированных волновых операторов U^, которые в данном случае определяются соотношением
U(c±} = lim exp {iht} L ехр {- ikH — iw, (к)}, (5.41)
где
w,(/c) = sign? • Tjln4ft2UI.
Мы приведем доказательство этого утверждения в главе VI.
Итак, мы видим, что волновые функции г|>с(#, к) существенно отличаются от аналогичных решений уравнения Шредингера для короткодействующих потенциалов по ряду признаков. Как мы показали в предыдущей главе, асимптотика волновой функции для нейтральных частиц сводится к сумме плоской волны, описывающей свободное двцжение невзаимодействующих частиц, и рассеянной сферической волны с гладкой амплитудой. В случае заряжецных частиц плоские и сферические волны искажаются фазовыми множителями, логарифмически зависящими от расстояния между частицами. Это искажение обусловлено физическим обстоятельством, которое мы отмечали при построении модифицированных нестационарных волновых операторов: асимптотическое движение частиц в кулоновском поле никогда не бывает свободным, и частицы слабо взаимодействуют при сколь угодно больших расстояниях между ними. Второе специфическое свойство кулоновских волновых функций состоит в том, что амплитуда рассеяния /с(я, к) имеет сингулярность в направлении рассеяния вперед. Эта сингулярность столь значительна, что функция feix, к) оказывается неинтегрируемой по угловым переменным б, ф, и интегралы, в которых она появляется, следует понимать в смысле обобщенных функций. Мы не будем сейчас уточнять это замечание и вернемся к вопросу об определении соответствующей обобщенной функции в следующей главе. Наконец, в отличие от нейтральных частиц, асимптотическая формула (5.4) не во всех направлениях правильно описывает поведение волновой функции. При
§ 1. ДВЕ ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ
199
ограниченном lulg, т. е. в направлении рассеяния вперед, необходимо использовать точные выражения (u.l), (5.2) в терминах вырожденной гипергеометрической функции.
