Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
ф) =гс(2) - гс(*)у(8)ф). (5.18)
Последнее можно записать в терминах функций Грина
оператора энергии Ьс. В частности, в случае притяжения,
п2,
при п < 0, полюсы функции Грина в точках Е^ = —
N = 1, 2, ..где Г-функция обращается в бесконечность, определяют собственные значения оператора ис. При этом собственные значения являются ІУ2-кратно вырожденными и соответствующие собственные функции даются равенствами
где г = | х |, У? — сферические функции, а функция і?*, г, зависящая от радиальной переменной, выражается через вырожденные гипергеометрические функции равенствами
хехр {- г^}ф (- N + I + 1, 2* + 2, (5.16)
Отметим, что ядро гс(х, х', г) может быть задано спектральным представлением
g 1. ДВЕ ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ 203
как интегральное уравнение второго рода: г (х, х', z) =
= гс (х, х', z) — Г гс (х, у, z) i/s> (у) г (у, х\ z)dy. (5.19)
Это уравнение может быть исследовано совершенно так же, как и аналогичное уравнение (4.14) в случае нейтральных частиц.
Опишем без доказательства ряд результатов, вытекающих из этого уравнения.
Функция Грипа rix, х\ z) при '\х'\-+<*> может быть представлена в виде (5.15), где амплитуда искаженной сферической волны совпадает с волновой функцией $ш(х, к) оператора h. Эта волновая функция удовлетворяет компактному иптегралыюму уравнепию
г|>(±)(*, &) я|)<±} к)-
- J гс (х, у, &2 ± Ю)Л> (у) я|)(±) (у, k)dy (5.20) и может быть представлена в виде суммы:
а|>(±) (х, к) = ^> {х, к) + <р{? (х, к), (5.21)
( + ) о V
где слагаемое q>Cs асимптотически равпо искаженной сферической волне с гладкой амплитудой к). Поскольку асимптотика функции i|)ci> (#, Щ также содержит искаженную сферическую волну, полная амплитуда рассеянной волны для функции if>(±)(#, к) равна сумме сингулярной чисто кулоновской части /с±) к) и гладкого
слагаемого fct\ называемого короткодействующей частью амплитуды: .
/±> (х, к) = (х, к) + (х, к). (5.22)
Из уравнения (5.20) вытекает следующее интегральное представление для f^{xx к):
№ (*. к) = (у, - | * I *) № (у) г|)(±) (у, к) dy.
(5.23)
Альтернативно (5.20), волновые функции if>(±)Gr, к) можно определить как решения уравнения Шредингера
{- А + ~ + (х) - A2) я|) (ху = 0 (5.24')
204 ГЛ. V. СИСТЕМЫ НАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
fn(k',k)
- ±lim Гdxфс(х, - | к{%') р%(х, к) e~W. (5.27)
в классе гладких функций, равных сумме (5.21), где асимптотика неизвестной функции <рс8(#, к) имеет вид искаженной сферической волны с ограниченной амплитудой:
, , х ехр |+ i I к | | х I -h iwn (х, к)\
ф?} (*, A) ~ fi?\x, *) *~ |д, ° • (5-24)
Рассуждения, которые нужно провести для обоснования дифференциальной формулировки задачи рассеяния, ничем не отличаются от рассуждений, которые мы провели в случае нейтральных частиц.
Угловые особенности амплитуды рассеяния. Выше мы считали, что короткодействующий потенциал viB4x) достаточно быстро убывает при \х\ -*¦ <», по крайней мере как степень Ы"3"8, е>0. При этом оказалось, что короткодействующая часть амплитуды рассеяния является ограниченной функцией. Если же этот потенциал убывает медленнее, например, содержит мультипольные части:
то функция jEcs имеет особенности в направлении рассеяния вперед х = к. Коротко опишем последние. Представим волновые функции в виде суммы:
< 2
ф (я, Je) = фс (я, к) + 2 (rci/B>)^c fc) + ф (я, А), (5.25)
где слагаемые (гсу(8))гфс отвечают двум первым итерациям интегральных уравнений (5.19). Соответственно для амплитуды рассеяния получаем представление
^ ^ 2 ^ ^ ^
/(Я ft) = /с(Я ^) + 2 /я(?, а) + /12(Я k)+JC5(?ik)1
(5.26)
где /с(л:, А) — кулоновская амплитуда (5.5), а /С8 — гладкая функция. Функции fji и /12 имеют особенности. При этом функции fji описывают вклад мультипольных слагаемых fxja;!"2 и [х2Ы~3 3 первую итерацию rci;(s)i|v.
§ і. ДВЕ ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ 205
Функция /12 учитывает вклад дипольного потенциала во вторую итерацию:
/12 (*', Ь) = 4- lim f dx аУ ^8|хНе|УЧс {x,-\k\k')x
Х^^ге(х,у,р + юш*,ъ): (5.28)
В качестве примера изучим функцию /и, которая содержит старшую сингулярность после кулоновской. Ясно, что особенность возникает в тех точках к' и к, где интеграл (5.27) становится расходящимся. Интеграл в (5.27) по конечной области является гладкой функцией векторов к' и к. Поэтому расходимости определяются поведением подынтегральной функции на больших расстояниях.
Для качественного описания особенности мы ограничимся только рассмотрением интеграла по области, не содержащей окрестностей направлений х = к и х — —к . В этой области асимптотика кулоиовских волновых функций в старшем порядке определяется искаженной плоской волной (5.4). Заменим в (5.27) кулоновские волповые функции их асимптотикой и перейдем к интегрированию по новой переменной y—\q\x, где q = k — k'. В результате получим представление
= | q|-і-«ч lim f exp (і(q, у) - є| у |] | у \^g(y)dyd\y\,
elo
где g(y) — гладкая функция. Интеграл по угловой переменной можно оцепить методом стационарной фазы:
§dyg(у) ехр [і (5, у)} ~ ^ [e*Wg ( ?) -
— er4v\g(-ti)) + ...
