Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
(4.103)
(в ^
тде через ЬА г) (Р\ рА} обозначены преобразования Фурье функций ХАг)(^,>л). Ядра Тв^а{р'гра) имеют
184 гл. iv. конфигурационное пространство
где ядра #ва и СБзА являются гладкими ограничен-
ными функциями; индекс В отвечает детализованному разбиению 1вг
Напомним, что знаменатели в формулах (4.103) и (4.104) обращаются в нуль в разных частях пространства К6. Это позволяет разбить область интегрирования на части, в каждой из которых функция ^в2а имеет лишь один полюс Асимптотика возникающих таким образом интегралов может быть вычислена с помощью формул (4.119), приведенных В' § 6. При этом каждый полюс {Ев{рв)-—Еа(ра) — Ю)-1 порождает сферическую волну в 3(1 — 1)-мерном пространстве
еч{1уТ+Ц\ув\} Ув{Ув, ?) =-|^|(з;-4)/2-->
где I равно числу кластеров детализованного разбиения В. Случай 1 = М (Б = 0, >с| = 0) соответствует N свободным частицам. В результате получаем следующее представление:
фвгл{Х, Ра) = %^(Х, рА)ба2ь2 + + 2 2>$1) (хв) °Ъв2ГЬ1~2 (ув< РА) + Рв2а (X, рА). (4.105)
, Ь2...Ь/_1
Функции оВА асимптотически переходят в сферические волны в 3(/— 1)-мерном пространстве:
Ь2...Ьг_х /0л^(1а-1в)г ттЬ2-'Ь1-1,,\ п |7, п \ ч/
<*ва ~ (2л) 2 'ь^ва \\Рв\ Ув' Ра) х
Х(?в{ув,ЕА. (4.106)
Здесь р% = ЕА (рА) + х|, Сх = ш (2я)(3^4)/2Е(3^4)/4 X X /~гЯ(зг""4)/4. Эти функции отвечают процессам (А ->• 5)
кластерные особенности, которые отражает представление Тв2л(Р',РА) = 0В2А(Р',рА) +
+ 2,,; (*\ Н1ГЪ"(РВ,РЛ), (4.104,
/=2 ев{рв)-еа(Ра)~10 4
§ 5. дифференциальные уравнения в системе iv тел
185
образования I кластеров в конечном состоянии I'= 1В. Слагаемое Рв2а отвечает процессу распада системы на N свободных частиц. Асимптотически оно • равно сферической волне в пространстве К3^-1);
Рв2д (X, рА) ~ СКТв2л {ЕЦ2Х, рА) ?0 (X, ЕА). (4.107)
Как видно из представления (4.105), асимптотика компоненты Фв2а для разбиения В2 содержит лищь те сферические волны, которые отвечают разбиениям, следующим за В2.
Волновые функции ЧГА(Х, рА) задаются суммой компонент - Фв2а (X, РА) по всем разбиениям В2. Поэтому их асимптотика будет содержать сферические волны, отвечающие всем открытым каналам:
Уа(Х, Ра)~%а(Х, рА) +
+ 2 Рва(ув,Ра)(2в{ув,Еа). (4.108)
в
-к%<ев
Амплитуды этих волн выражаются через компоненты равенствами
/ва(Ув, Ра) =
- 2 (2я)Т^-^с,Х2а'^"1(|^|^Ра)^
ь2...ъ1_1
Роа(х, ра) = 2сазА(й/21, Ра).
Отметим, наконец, что если в начальном состоянии имеется три или более кластеров, то асимптотика волновых функций уже не сводится к суперпозиции кластерных плоских и рассеянных сферических волн. Наряду с такими волнами в. этом случае появляются медленно убывающие слагаемые, отвечающие процессам перерассеяния кластеров.
После того, как мы описали координатную асимптотику волновых функций и их компонент, мы можем сформулировать граничные задачи для них на основе уравнения Шредингера или дифференциальных уравнений для компонент.
Дифференциальные уравнения для компонент (4.101) имеют единственное решение в классе гладких функций
186 ГЛ. IV. КОНФИГУРАЦИОННОЕ ПРОСТРАНСТВО
¦— 4 — (2я) 2 |Х-Х'ГЗЛН-5. Если 1т*#0, она
быстро убывает при IX — Х'\ оо. Ее асимптотика при вещественных z = E±iO и |Х'1-*-°° определяется суммой сферических волн:
щх,х;е±ю) ~ 2 Аф(х,Рв)х
У,^в{хв)^^{у'в,Е\ (4.110)
где суммирование ведется по всем открытым каналам. Импульсные переменные рв даются равенствами рв =
= ^ -уцУв, ув = Чв | \!в = <гв>
Амплитуды сферических волн явно выражаются
через волновые функции, которые отвечают детализованному разбиению В:
(4.111)
Наконец, асимптотика при |Х| -»- °° может быть получе-
с фиксированной асимптотикой (4.105)—(4.107). При этом волновая функция дается суммой компонент по всем разбиениям (4.100'). Граничные условия для уравнения Шредингера определены равенствами (4.108). Это уравнение также имеет единственное решение, отвечающее данным условиям.
Дифференциальная формулировка задачи рассеяния может быть обоснована с помощью рассуждений, аналогичных рассмотренным на примере задачи трех частиц. В этих рассуждениях используются, в частности, асимптотические представления функций Грина. Последние определяются как решения уравнения
(-Дх + 2 vaN_1(xaN_1)--z)R(XfX'1z) = Ь(X--X').
(4 Л 09)
Коротка опишем свойства этих фупкций. При ХФХ' функция Грина ЖХ, X', z) является гладкой ограниченной функцией, а при Х==Х' имеет особенность вида
§ 6. быстро осциллирующие интегралы 187
тх, х\ ъ)=*тх\х,г).
Во многих случаях необходимо знать асимптотику функций Грина операторов Лапласа в ЗС/У — 1)-мерйом пространстве Д^Д', г). Эти функции известны в явном виде:
у * /уГуз1У-5)/2 Н$М_Ъ)/2(У1\ Х~Х>\)
(4.112)
так что их асимптотика определяется- асимптотикой функций Ханкеля. Например, если IX71 «>, а переменная X фиксирована, то справедлива формула
Отметим, что эти функции можно также задать с помощью преобразования Фурье:
Я™(ХЛ X', г) = (2я)<-3<™2 Г йР ™^(Р>Х-Х')}.
J Р — ъ
(4.113)
На этом мы закончим исследование задачи рассеяния Для N нейтральных частиц.
