Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
§ 6. Быстро осциллирующие интегралы
Этот параграф представляет собой математическое дополнение, в котором мы опишем асимптотику интегралов вида
I (К I {дя д\ X) (4.114)
При X ©о.
В основном содержащиеся здесь результаты хорошо известны. Мы приводим их ради полноты изложения.
Чтобы не загромождать формулы оценками остаточных членов, мы будем считать, что функция / является финитной.
на из этих формул с помощью условий симметрии
188 ГЛ. IV. КОНФИГУРАЦИОННОЕ ПРОСТРАНСТВО
д2
^дф (q) \q=q0 = 0, det
д2
а матрица —| имеет v+ положительных собственных чи-
dq
д2
сел и V- — отрицательных. Через sign —^ мы обозначим
dq
д2
сигнатуру квадратичной формы с матрицей —f:
dq
. д2ф (д2ц\ д2ц>
Я = {Яъ Яъ, • ЯпУ Справедлива следующая асимптотическая формула:
det^
dq2
-1/2
/Ы х
х ехР(аФ(q0) +1\ sign + о (x))- (4-115)
Сделаем несколько замечаний по поводу доказательства этой формулы. Основной вклад в интеграл дают точки, расположенные в шаре радиуса Аг1/2+е с центром в точке q0. В этом шаре функция ф(д) в старшем порядке дается равенством
Ф (?) = Ф (Яо) + Т (У - ?о)» Я - ?о) + 0 (I Я - Яо \*У-
Рассмотрим сначала самый простой случай, когда функции ф и / зависят лишь от переменной интегрирования q .
Если функция ф(д') не имеет критических точек, то асимптотика КМ обусловлена поведением функции / на границе области интегрирования.. Для финитной^ f(q') интеграл КМ быстро убывает, как произвольная степень X~N, N>1. Если же критическая точка существует, то основной вклад порождается ее окрестностью. Чтобы описать асимптотику КМ в этом случае, сделаем ряд предположений о свойствах функции ф(д').
Пусть ф(д) имеет единственную невырожденную критическую точку д0, так что
§ 6. БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
189
Если ввести базис, в котором матрица приводится
к диагональному виду, то интеграл ЛЯ) можно представить в старшем порядке в виде произведения п эталонных интегралов
сю
I
« ,/ 2я /^Ыпп (4Л16)
на не зависящий от переменной интегрирования множитель /(д0) ехр {йф(д0)К Получившийся результат м.ожно переписать в виде (4.115).
В большинстве задач, которые мы рассматривали выше, функция / зависела от дополнительных переменных и, более того, от большого параметра X. Функция ф обычно также зависит от дополнительных параметров. Чтобы пользоваться формулой метода стационарной фазы (4.115) в этом случае, следует сделать предположение о харак-. тере осцилляции функции /(д, ^Я).
Будем называть гладкую функцию /(д, д', М медленно осциллирующей функцией большого параметра Я, если она вместе со своими производными подчиняется оценке
дчхг • • • ддп
1x1 =>С! + >с2 + ... + хп, (4.117)
где т — фиксированное число. Эта оценка гарантирует правомерность использования обычных асимптотических формул.
Именно, можно показать, что-если функция ф(д, д') при всех q из области определения имеет единственную невырожденную критическую точку, а функция /(д, д',М является медленно осциллирующей, то асимптотика интеграла (4.114) снова задается формулой (4.115). Большой параметр К может принимать значения и на комплексной плоскости. Соответствующие асимптотические формулы могут быть получены на основе метода перевала. Для нас практический интерес имеет только случай, когда параметр имеет вид произведения ЯУя, где переменная ъ принимает значения на комплексной плоскости с разрезом П0. Можно показать, что если все собст-
190 ГЛ. IV. КОНФИГУРАЦИОННОЕ ПРОСТРАНСТВО
д2ц>
венные числа матрицы —| отрицательны, то вклад кри-
dq
тической точки описывается формулой (4.115), где ветвь функции olz)"nn выбирается из условия arg (Vz)"n/2 = 0 при arg 2 = 0.
Если функция / имеет особенности, то основной вклад в асимптотику наряду с критическими точками дают и особые точки. При этом наиболее сложная задача состоит в описании асимптотики при сближении критических и особых точек. Мы рассмотрим несколько примеров таких интегралов.
В этой главе мы часто встречались с интегралами вида IM-faggL, (4.118,
где g(q) — гладкая функция. Следующее предложение
описывает асимптотику таких интегралов при \х\ <».
Предложение А. При Т1Е\х\-+<*> имеет место асимптотическая 'формула
/ (хг e)~±i \^) пе 4 е * X
х(/(± vex) + 0(\ vexl1)). (4.119)
Доказательство этой формулы проведем в два шага. Введем сферические координаты \q\ иди проинтегрируем спачала по (тг—1)-мерной сфере s{n~l\ Асимптотика этого интеграла может быть найдена с помощью метода стационарной фазы. Основной вклад от критических точек q = ±х моя^ет быть представлен в виде суммы
/ <*, е) ~ (/<+> (*. е) - /<"> (*, е)\
где через 1ш обозначены интегралы по радиальной переменной:
1{±){х,е) =
О ъ -r
Заметим, далее, что основной вклад в интегралах /(±)
§ 6. БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
191
порождают полюсные особенности. Его значение легко вычислить, дополняя путь интегрирования в окрестности полюса до замкнутого контура и применяя теорему о вычетах. При этом в случае интеграла 7(+) путь следует замыкать в верхней полуплоскости и в случае интеграла /(-) — в нижней. При таком способе замыкания интеграла по добавленным кривым имеют младший порядок. В результате получим формулу (4.119).
