Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Сг = -
еЙ1/4гЗ/4
2 (2п>Б/2 *
(4.67)
Следующая по силе особенность порождается процессами однократного перёрассеяния и имеет вид произведения
б (ра — р'а) (&а — г)"1. В конфигурационном пространстве эти особенности порождают медленно убывающие слагаемые. Мы детально описали такие слагаемые на примере волновых функций ^Ро. Приведем асимптотику 11*
164 гл. iv. конфигурационное пространство
аналогичных слагаемых для функции Грина: (Ra - R0) (X, X', Е + Ю)~
_ с Ы + KI f h Ы + Kl vex')-
xeXp{±.Vlza(^) (468)
^a
Здесь через Za обозначен эйконал, описывающий распространение луча из точки X' в точку X, с точкой излома на гиперплоскости ха = 0:
га(Х,_х')-=((\ха\+\хц\у + \Уа-у'а\>у\
Эта формула может быть получена из (4.23) с помощью метода церевала.
Кроме перечисленных сингулярпостей, ядро резольвенты имеет второстепенные особенности, которыо зависят не только от величин, но и от направлений импульсных переменных. Мы видели в § 3, что наиболее сильные из них, полюсные, порождают асимптотические решения уравнения Шредингера, отвечающие двукратным эйконалам Zap. Аналогичные члены имеются и в асимптотике функции Грина. Они описываются в терминах эйконалов ^aa1...arip = 0, 1, ..., отвечающих- процессам
распространения сферической волны из точки X' в точку X путем многократных отражений от гиперплоскостей ха = 0, ха± = 6,.. . ., х$ = 0, афаг1 агфа2, .. ., апф$.
Явное выражение ДЛЯ ^аа .. .ап& может быть найдено минимизацией оптического пути
Z{n~2KX, Х(1),Х(2) ...Х(*\Х') = |Х~Х(1)| +
+ |Х(1)-Х(2)| +...+ |Х(П)-Х'|
относительно промежуточных точек излома X{i) (i = 1, 2, ..., п), расположенных на гиперплоскостях Xq? = 0, т. е. из уравнений
vxin)z^(х, х« ..., *<">, X') = о, <> = о, (469)
к = 1,2,..., п.
Следует отметить, что число отражений от граней клиньев ограничено некоторой постоянной, зависящей
§ 4. функция грина 165
лишь от углов между гиперплоскостями = 0, т. е. только от соотношения между массами частиц. Например, в плоской задаче о распространении луча из точки X в точку X' посредством п отражений возможно лишь ЛГтах = Е(я/ф) отражений, где ф —угол раствора клина и Е(.?) — целая часть числа. Если процесс тг-кратного отражения запрещен, то уравнения (4'.69) приводят к условию прохождения лучей через вершину Х{к)—0 (& = 1, 2, ... ..., п). В таком случае решение (4.69) есть сумма сферических эйконалов 2Ч(Х,Х') =\Х\ + \Х'\. Это обстоятельство находит свое выражение в том, что ядра итераций Даа1...апр в импульсном представлении становятся гладкими, начиная с п = 4, так что соответствующие слагаемые- волновых функций имеют асимптотику тип^ сферических волн.
Итерации ^а$(%)- Перейдем к изучению решения системы уравнений для компонент резольвенты (3.59). Выпишем эти уравнения подробно:
Дар (X, X', г) = (Да - Д0)(Х, X', г) -
- С Да(Х, X", z) иа{х'а) 2 ДгР (X", X', г). (4.70)
^ Уфа.
Рассмотрим сначала итерации
2' В$л...Тпр(*), п = 0,1,2,...;
Т1,72,...>Тп
(4.70')
здесь операторы 11ат .?ПР даются равенствами
В^-.Л-пР (г) =
= (- 1)"-^а (2) уаКп (г) ... ВТп (г) у?п (Бр (г) - Б, (г)).
(4.71')
Ядра этих операторов имеют вид многократных интегралов:
д^.-^р (х, х\,) = (-1)"-* | йх(1'сгх(а>...
...<Ш»+*>Да(Х, Х(1>, гК^КДХ^, Х(2>, z)vy1(x(^...
¦¦-Щп (<+1>) №. - ^о) (^(П+1), X*). (4.71)
166
гл. iv. конфигурационное пространство
С помощью представления (4.29) эти ядра мояшо записать в виде суммы:
Q (X, Х\ z) = F (Xt Х\ z) + 2 GB (X, y;t z) yl(4) +
Здесь ради краткости опущены индексы . .^«?, нумерующие ядра, т. е. Aovie.eYn?s^, По смыслу это представление аналогично представлению (3.36) для компонент Г-матрицы. Как и в импульсном пространстве, мы будем называть ядра, представимые в таком виде, ядрами типа .2>аР, а функции f, ?, / и Я - компонентами этих ядер. Изучим свойства этих компонент.
Мы рассмотрим сначала наиболее трудный в техническом отношении случай компонент F. Заметим, прежде всего, что асимптотика отвечающих им интегралов определяется теми частями областей интегрирования, где сосредоточены потенциалы vyi {ху^. В этом случае первый
X^i-i) и BTOp0g аргументы ядер Aa? ...vn? расположены в различных частях конфигурационного пространства. Данное обстоятельство позволяет ограничиться детальным исследованием асимптотики лишь при специальном расположении аргументов, что делает более простой задачу исследования ядер итераций R(a? (z).
Положим сперва и = 2. В соответствии со сделанным выше замечанием будем считать, что точка X лежит в области, где частицы пары а сильно разделены. Согласно (4.68) ядро Rai (Хл Х\ z) можно записать в виде интег-
_ f 7Уще*Р{*У*(1*-*аЧ + М*(1)>*'))} v
J а |Х~*(«\V4f (#», X') А
X va Щ№ 7«? X', (4.73)
где fa? —гладкая функция. При этом ясногчто переменная интегрирования X{i) сосредоточена в области Йа, где
+ 2^W JA{yaix\ z) +
в
+2 2 ч>л Ы нАВ (yAl y'Bl z) tfB (х'в). (4-72)
І 2
рала:
§ 4, функция грина 167
потенциал Va(xa) существенно отличен от нуля. Асимптотика этого интеграла определяется окрестностями точек трех типов — критической точкой Х0, Х0 = {0, ^а0)), которая задается уравнением V (1) ( | X Х(1) [ +
