Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Из этой оценки вытекает, что асимптотическое поведение подынтегральной функции в интеграле по радиальной переменной гарантирует сходимость этого интеграла. Поэтому сходится и исходный интеграл. Следовательно, особенность порождается только сингулярным в направлении рассеяния вперед множителем Igl"1-2'4.
Полученное представление правильно передает вид старшей особенности функции /и. Однако* Поскольку
206 ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
асимптотика (5.4) перестает быть' верной в окрестности направления рассеяния вперед, для определения точного значения коэффициента перед особенностью следует использовать явное выражение для кулоновских волновых функций. Мы не будем описывать здесь соответствующие выкладки, а приведем только окончательные результаты. Для функций fa справедливы представления
/и(?'. A)-au!ft-*M-|-lft,+ biilft--A/|-", + e/1i(A/b ft),
/„(?', &)=ajA-Л-^ + б/2Д^, к),
/12(&', k)=*ai2\k-k'\-2i« + 5fi2(k\ к),,
в которых сингулярные множители выделены явно, а коэффициенты ciij и ?/zj — гладкие ограниченные функции. Коэффициенты an при старшей особенности функций /л (г* = 1, 2) можно представить в виде
*и = (-^|*|»^^r(2 - I + 2щип {к', к\
(5.29)
где мпожители* ац выражаются через мультипольные моменты \ii потенциала с помощью иптегрального представления:
ап(к\ к) = J^jx](x)(l-(p, + i0)l-2~2i\
(5.30)
Здесь q — вектор переданного импульса, g = — к\ ар — сумма пачального и конечного импульсов, р = к + к\ Далее, коэффициент Ьи при младшей особенности функции /и дается равенством
ъп ft) — ~4jf (21 к \)т exp {2i arg Г (ft,)} х
Наконец, функция ai2 представляется в виде а12(к', /с) =
=г(8я|к 1Г1 J *рап(%, к + к")а\$(к+к"% к) (siiApr44 X X (В (1/2, щ) + 2 cos ф F (1 - in, 1/2, 3/2, cosftp)), (5.31)
§ 1. ДВЕ ЗАРЯЖЁННЫЕ ЧАСТИЦЫ 20?
где В(х, у) — бета-функция, я Fia, Ъ, с, t) — гинергеомет-рическая функция. Интегрирование в (5.31) ведется по окружности \к" l=»|ft — к'\, которая лежит" в плоскости, ортогональной к вектору к, cos <р = (к", q). Функция определяется представлением (5.30), в котором параметр г| полагается равным нулю.
Подчеркнем, что степень старшей диполыюй особенности на единицу меньше показателя кулоновской сингулярности (5.5). Порядок особенностей, отвечающих мультипольным слагаемым, также понижается на единицу с увеличением степени убывания потенциала.
Итак, мы видим, что амплитуда рассеяния / представляется в виде
f(fc', k)=*fBln(k', k) + fli?\ к),
где f — гладкая ограниченная функция, а /81п — сингулярная часть. Для функции /81-п справедливо представление
/sin к) = к) + 2 *' = I * ^
(5.32)
в котором коэффициенты bi выражаются через функции
Я/j и Ьц1
bi = aiU Ъг — а1г + a2i + Ьц.
В некоторых случаях коэффициенты bt вычисляются явео. Например, для сферически симметричного потенциала т. е. \iiix) = const, коэффициент bi при стар-\х\
щей дипольной особенности имеет вид t
Ъх~^{2\к |)2iT1 exp [2i arg Г (i- + щ)}.
Для потенциала двух фиксированных кулоновских центров, pi (х) =*= d cos 0, cos 0 = (х, R), этот коэффициент определяется равенством.
Ma', A) = W(?IAI>"4 exp {2? arg Г(1 + it|)> if),
g = ft —ft'.
Функцию Ьа для указанных потенциалов также можно
208
ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
вычислить явно. Однако соответствующие формулы слишком громоздки, и мы их здесь не приводим.
Следует отметить, что представление (5.32) перестает быть справедливым,' если потенциал и(х) равен сумме мультипольпых частей и не содержит кулоповской части. Действуя по описанной выше схеме, можно показать, что амплитуда рассеяния в этом случае имеет сингулярности вида
иЛ&1 к) =¦ Дп (к' % к) | Л' - Л' Г1 + (с№(%\ к) +
+ ах21{к'1к))1п\к — к'\1 (5.33)
где а)\ — гладкие ограниченные функции. Функция определена представлениями (5.29) и (5.30), в которых т] == 0. Коэффициент а2°1 дается равенством
Функция а^, как и для заряженных частиц, выражается через свертку функций а^:
где параметры ф и к" определены в (5.31).
Кулоновский потенциал в К3*-3, В методических целях мы рассмотрим в этом параграфе также модельную задачу рассеяния, порожденную сферически симметричным медленно убывающим потенциалом д01^1~1 в (ЗТУ — 3)-мерном пространстве/ Мы будем называть последний кулоновским потенциалом в Н3^-3.
Как и в трехмерном пространстве, уравнение Шре-дингера
может быть- решено методом разделения переменных в параболических координатах. Волновые функции Ч^Х, Р) представляются в виде произведения
-Щк\ 1 *Р«п (* + к", к)к + Ы),
о
(5.34)
ТО, Р) = ехрШХ, р))ФАЪ, р),
(5.35)
§ 1. ДВЕ ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ 209
где функция Ф зависит лишь от параболической координаты 6 = 1X1 — (X, Р):
/ЗЛГ-4 \ -г]л Г —о-+ *г1) / \
т( г )
(5.36)
Т] = 2\р\' Волновые функции, отмечаемые значком (—), выражаются через ^(Х, Р) равенством
(Хх Р) = ч#>* (X, - Р), ч№ э
Если ?->-«>, то согласно асимптотической формуле (5.3) функция становится равной сумме искаженных плоских и сферических волн:
(Хг Р) ~ е^.Р)+^(х,Р) (1 + 0 ((| р | +
где кулоновские фазы даются равенствами
