Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
+ ?р(Х(1\ Х')) = 0, точками X и X', где подынтегральная функция имеет особенности, и, наконец, точками, расположенными в некоторой окрестности начала координат. В качестве последней мы возьмем шар радиуса Я, Д = = (1X1 + 1ХГ1)У, V < 1/2, с центром в начале координат.
В интеграле 1п по шару У* отношение |Х(1) 1(1X1 + + IX'!)"1 является малым параметром. Раскладывая функции IX —Х(1)| и 2Р(Х(1),Х') в ряд по этому параметру, придем к заключению, что асимптотика имеет вид произведения экспоненциально убывающих при |Х|, |Х'1 ->
->¦ оо фунКЦИЙ
При вещественных ^асимптотика 1п имеет вид произведения сферических волн по X й X'.
Интегралы, которые порождаются окрестностями точек X и *Х', можно оценить интегрированием по частям относительно переменной т4 = IX — Х(1)1 или т2 — 1Х(1) — Х'1. Можно показать, что эти интегралы быстро убывают и > не влияют на старшие члены асимптотики ядра #ар (X, Х\ г).
Рассмотрим, наконец, интеграл 70 по окрестности критической точки Х(0). Исследуем его асимптотику при вещественных 2=*Й + Ю. Сделаем замену переменной интегрирования у = где А,= |Х| + |Х'|. В результате запишем функцию 10 в виде интеграла с большим параметром:
/0 = I ]" йУ е<™***ъ (*?>) 7а, (У, 4\ X, Х\ Е).
Его асимптотика может быть найдена с помощью метода стационарной фазы. Заметим, что уравнение
*уфаР(0)«О, (4.75)
определяющее критическую точку, имеет решение Х(0) толыф в том случае, когда точки X и X' можно соединить доманой с двумя точками излома и г/р0 на гипер-
168 ГЛ. IV. КОНФИГУРАЦИОННОЕ ПРОСТРАНСТВО
Аа»(Х, X')
(і-^з)а + «^0в[іГ?г
1/2'
Множество точек (X, X7}, для которых справедлива формула (4776), мы будем обозначать через В этих частях конфигурационного пространства функция 10 убывает медленнее, произведения сферических волн (4.74).
Если уравнение (4.75) имеет решение лишь при г/ = 0, так что указанный процесс двукратного преломления невозможен, то асимптотика интеграла /0 имеет факторизо-ванпый вид (4.74). Соответствующее множество точек {X, X'} мы обозначим через
В переходной области асимптотика интеграла /0 описывается с помощью интеграла Френеля аналогично тому, как это было для волновых функций. В данном случае правую ча^ть формулы (4.76) следует умножить на функцию
я-1/уя/*Ф ($±>?1/4 @л (X, х') - га(3 (х, х'))1/2),:
плоскостях жа = 0и^ = 0. Показатель экспоненты ЯфаР(у) равен при этом эйконалу Za,P>(X, X').
Явный вид асимптотики может быть найден с помощью формулы (4.115) из § 6. Приведем окончательный результат, который получается с помощью тождественного преобразования этой формулы. Справедливо следующее представление *ґерез двухчастичные амплитуды рассеяния: _
ыы ^(476)
Здесь использованы обозначения СЕ — — е"г/4(2л)_5/2 X X 2-іЕ3/1,
\ха\ (о) 141 (1)
Х(1)=(0, $>}.
Функция Аац(Х, X') является гладкой и ограниченной:
(! + *„) (1 + ^)(1-сУаЭр)1/2
§ 4. ФУНКЦИЯ ГРИНА
169
где параметр сокр Принимает значения 1, когда точки {X, X'} лежат в 0!$ и —1, когда они находятся в 0$.
Аналогично можно оценить интеграл /0 и в случае комплексных z. При этом осциллирующие множители перейдут в экспоненциально убывающие.
Таким образом, мы рассмотрели компоненту Р и показали, что при комплексных % это ядро убывает, как произвольная степень |^8(Х, Х')\~м. Если же переменная г выходит на вещественную ось, то оно становится медленно убывающим. Его старшие асимптотические члены определяются суммой функций (4.74) и (4.76).
Точно так же могут быть рассмотрены цнтегралы, отвечающие компонентам С, / и Я. При этом под знаком интеграла типа (4.73) появляются произведения
^а(^а0^р(4^) ИЛИ ^а(^а})'ФрС^Х КОТОрые быстро
убывают во всех направлениях конфигурационного пространства. Поэтому асимптотика таких интегралов будет определяться лишь областью интегрирования, расположенной в окрестности начала координат.
В результате можно показать, что при вещественных % компоненты С(Х, ув\ г) и /(г/л, X', z) асимптотически имеют вид произведения кластерных и шестимерных сферических волн по соответствующим переменным, например: С(Х, уд, Е + іО)~\Х\-ь/2\у'в\-1ех$[і УЕ\Х\ +
+ і \^Е + Кв \у$\] g^ Асимптотика компонент Жг/А, у в, Е + ?0) задается произведением кластерных сферических волн
Н {уа, Ув, Е + і0)~
~ехр{і УЕ + к*А\Уа\ + і Vе + *в\у'в\}\Уа\~1 X
X \ ув\~17ь(уа, у в, Е).
При комплексных г все эти компоненты быстро убывают.
коротко опишем повєдє9иє Ядер #071...їгір (2) при 72 ^ 1-
Рассмотрим ядра 11$^^), отвечающие итерациям второго порядка. Они выражаются через ядра ^) равенством
Кау^і^зХ', *) =
= |яа(Х, Х",я)иа(х'а)-Н{$ (Х\ Х\ г) <1Х".
170
ГЛ. IV. КОНФИГУРАЦИОННОЕ ПРОСТРАНСТВО
Нетрудно видеть, что эти ядра являются ядрами типа 2)а#. Зная свойства ядер Ra и Ну*$л мы можем изучить асимптотику компонент на основе рассуждений, которые мы провели в случае ядер Ra%
Можно показать, что асимптотика компонент G, / и Н имеет такой же вид, как и асимдтотика аналогичных компонент ядер Rai* Асимптотика компонент F(X, Х\ z) этих ядер, как и в случае ядер R% {Х% Х'А z)% порождается окрестностями перечисленных ранее характеристических точек. При этом самыми опасными будут члены, которые возникают от критической точки экспоненты, где выполняется равенство
