Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Меркурьев С.П. -> "Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц" -> 59

Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.

Меркурьев С.П., Фаддеев Л.Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц — М.: Наука, 1985 . — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantteordlyasisneschas1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 118 >> Следующая

Несмотря на указанные различия, асимптотические формулы (4.2) —(4.4) и (5.4) объединяет одно свойство. Именно, быстро осциллирующие экспоненты, определяющие плоскую и сферическую волны, совпадают в этих двух случаях, и эти выражения различаются только фаговыми множителями. Заметим также, что указанные дополнительные кулоновские фазы имеют квазиклассическое происхождение.
Действительно, рассмотрим эйкональное приближение для волновой функции if>c(#, к), отвечающее прямолинейному движению с импульсом к. Справедливо представление
$с(х, к) ~ ехр Шх, к) + iw(x, /с)},
где функция w определяет сдвиг фазы в кулоновском поле вдоль прямолинейной траектории, начинающейся в далеких^ точках и проходящей через точку наблюдения х:
г
w (х>к) ^ 2ТТ| J dt Vc (и + ^>
(5.12)
Здесь через и обозначена проекция вектора х на плоскость, перпендикулярную импульсу к, и=я—(х, к)к. Вычисляя этот интеграл, получим с точностью до постоянного слагаемого фазу и;, искажающую плоскую волну (5.4). Аналогично, функция uv может быть определена как сдвиг фазы волновой функции вдодь траектории с -направляющим вектором х. При этом векторы к или вдоль которых перемещаются частицы, связаны с укороченными действиями (fe, х) и Ы, которые задают рассматриваемое состояние движения соотношениями к ==» ««^(й, х), х=*У\х\. Мы будем называть функции (/с, х) и \х\ плоским й сферическим эйконалами, имея в виду отмеченную выше аналогию квантовой задачи рассеяния с задачами распространения волн.
Таким образом, искаженные плоские и сферические волны (5.4) можно интерпретировать как эйкональные
200 ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ,
приближения волновой функции, построенные вдоль траекторий движения, которые определяются эйконалами
(к, х) и Ы соответственно.
Мы видим, что квазиклассические соображения, которые привели нас к модифицированному определению нестационарных волновых операторов в главе I, позволяют найти правильную асимптотику волновых функций и в стационарной формулировке. В задаче двух тел этот факт не имеет принципиального значения, так как куДо-новская волновая функция известна в явном виде. Можно ожидать, однако, что квазиклассический подход является плодотворным и в задаче трех и более заряженных частиц, где точдого решения уравнения Шредингера уже не существует.
Функция Грина. Опишем свойства функции Грина для оператора энергии двух кулоповских частиц Ьс, Ьс — Ь0 + ус.
Замечательное свойство двухчастичной кулоновской задачи рассеяния состоит в том, что функция Грина гс(х, х\ z), удовлетворяющая неоднородному уравнению Шредингера
(— д* + у^г — гс (х, х\ г) = б (х — *'),
так же, как и волновые функции, известна в явном виде:
(5.13)
Здесь введены следующие обозначения. Функции фс1* и
(2)
Фс , называемые кулоновскими радиальными функциями, выражаются через регулярное Ф(а, Ь, ?) и иррегулярное ЧЧа, Ь, ?) решения вырожденного гипергеометрического уравнения равенствами
ф?>.(*, 2) =
<Й" («.»)-
§ 1. ДВЕ ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ 201
менить импульс к на направление х — х' вектора, соединяющего точку х с точкой х'. Следовательно, как и в случае волновых функций, кулоновская функция Грина гс(ж, х\ z) асимптотически отличается от свободной функции Грина г0(х, х\ г) фазовым множителем, имеющим квазиклассическую природу.
Отметим, накопец, что, аналогично случаю нейтральных частиц, при \х\ ->- оо -имеет место следующее соотношение между функцией Грина и волновыми функциями:
гс (х% х\ Е ± Ю) ~
1 ,(±>/ 74 вХР{± ± ™0(*')} /с,кч
~ 4^ У* (Х>----' (5,1 }
Здесь__импульсная переменная дается равенством к=*
Существование явного представления для функции Грина полностью решает задачу спектрального анализа
а параболические координаты 5 и ? в данном случае задаются равенствами
25= 1x1 + |*'| - \х-х'\, 21= \х\ + |*'| + \х-х'\. Функция Грина упрощается асимптотически, когда
\Х) — х\ оо? и
\х\ \х'\ + (х>х')>\\х\ + \х'\ v>2/3,
так что точки х и х' не расположены на прямой, проходящей через начало координат по разные стороны от него. Используя асимптотическое представление (5.3) для вырожденной гипергеометрической функции и аналогичное равенство для линейно независимого решения х?(а, Ь, ?) ~ ?~а, придем к формуле
, ч 1 ехр [П/1\х-х'\ + 1и?г{х, х')}
гс {х% х % г) ~ ^-5-[Г=Г^П-х (5.14)
где
юг(Х х') = I * 1п}*\}*-*1}+}х;х-хХ. (5.14')
Сравнивая эту формулу с определением эйкональной фазы- (5.12), придем к выводу, что функция тг{х, х') может быть получена на основе этой формулы, если за-
202 ҐЛ. V* СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЁННЫХ ЧАСТИЦ
^^^2)= 2, ——^— +
1 Г ^(«.^Н^ (*'.*) Л2 — *
гда-интеграл отвечает непрерывному спектру, а сумма—* дискретному спектру оператора Ьс.
Суперпозиция кулоновского и короткодействующего потенциалов. Рассмотрим теперь задачу рассеяния для заряженных частиц, потенциал взаимодействия между которыми, кроме кулоновской части, содержит короткодействующее слагаемое v(a)(x). Если в операторном тождестве (2.8) в качестве операторов А и В выбрать пару Ьс — % и Ь — 2, Ь = Ьс + у(8), то мы придем к следующему модифицированному уравнению теории возмущений:
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed