Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Меркурьев С.П. -> "Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц" -> 52

Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.

Меркурьев С.П., Фаддеев Л.Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц — М.: Наука, 1985 . — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantteordlyasisneschas1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 118 >> Следующая

Таким образом, мы непосредственно перешли от уравнения Шредингера к дифференциальным уравнениям для компонент, избежав анализа громоздких интегральных уравнений. Конечно, чтобы строго обосновать эти уравнения и доказать, что их решения совпадают с решениями компактных уравнений, необходимо повторить длинные рассуждения, которые мы провели в §-2. Тем не менее мы видим, что алгебраическая часть задачи предельно проста и базируется лишь на определении компонент и их связи с волновой функцией.
Аналогичная процедура может быть использована и для вывода дифференциальных уравнений в системе четырех тел. Именно, рассмотрим а3-компонеыты волновых функций
Фаз = -В0(Е + Ю)УазУ. (4.82)
Как и в системе трех тел, волновая функция равна их сумме:
^ = 2 Фа,,
а сами компоненты подчиняются уравнениям
(Н0 + Уаз - Е) ФЯз - - Уаз 2 Фь3. (4.83)
3 3
174 ГЛ. IV. КОНФИГУРАЦИОННОЕ ПРОСТРАНСТВО
С помощью этих, компонент построим Лг-компоненты по формулам
Фа,а2 - - 1Ц (Е + Ю) Уаз 2 Фьз- (4.84)
При этом обратное соотношение имеет вид
Применяя оператор Ндз — Е к обеим частям равенства (4.84), получим соотношение
(Н0 + У„9 - Е) Фаа = - У0з 3 Фь8.
(ьз#аз)Соя
Выразим далее Ь3-компоненты в правой части через 52-компоненты Фь3ь2 и перенесем член с Ъ2 = а2 в левую часть. Получим следующую систему дифференциальных уравнений для -4^-компонент:
(н0 + у0з - Е) ф„з02 + у„8 2 ф6л =
(Ь3^а8)С02
= -Уаз 2 2 Фуу (4.85)
Эта система представляет искомое обобщение уравнений (4.83) Ш случай задачи четырех тел. Чтобы однозначно определить компоненты волновых функций, мы должны еще задать асимптотические граничные условия. Последние мы опишем в конце параграфа.
Выпишем подробно уравнения (4.85) в случае четырех тождественных частиц. Обозначим через а2 трехчастич-ное разбиение (123) (4) и через Ъ2 — двухчастичное разбиение (12) (34). Через а3 и Ь3 будей обозначать разбиения на три кластера, следующие за а2 и Ь2 соответственно и отвечающие паре (12): а3 = (12)(3)(4),: Ь3=* = (12)(3)(4). Так как все частицы предполагаются одинаковыми, то система из 16 уравнений оказывается эквивалентной двум зацепленным уравнениям для компонент Фа2а8 и Фь2ь3? которые, однако, зависят от коорди-*
§ 5. дифференциальные уравнения в системе N тел 175
нат Якоби различного типа:
(-ax + v (х12) - Е) ФАа (х121 у<?2\ у,) +%
+ ^(х12)(ФА2{х231 у[23\ у,) + ФлД*81, у%г\ у*)) =
= - V (х12) (Фа2 (*2згУ423\ у г) + Фа2 (^13, уТ\г у 2) +
+ Фв2 («28* «14. Ум) + ФВ2 («13. *24i »18»! (4'86)
(— А + и (х12) — Е) Фв2 (х12% хи, у12) + + V (х12) Фв2 (x3i% x12t у12) = = - V (х12) (ФА2 (*34, у<*А\ у2) + ФА2 (*з4, уТ\ Vi)).
В каждом слагаемом из правой части используются яко-биевы координаты, отвечающие цепочкам разбиений, по которым ведется суммирование в (4.85). При этом мы использовали следующие сокращенные обозначения:
#4 = #123,4r #312) = #12,3»J #12 = #12,34«
и аналогично для других индексов.
Следующая задача состоит в том, чтобы установить соотношение между этими уравнениями и компактными интегральными уравнениями для волновых функций. Чтобы решить эту задачу, мы рассмотрим дифференциальные уравнения для компонент резольвенты.
Дифференциальные уравнения для компонент резольвенты в системе четырех тел. Пусть R(z) — резольвента оператора энергии системы четырех тел. Аналогично (5.37), определим аз-компоненты резольвенты равенствами
1Ць3 (*) = - R0 (z) Мазъ8 (z) R0 (z), (4.87)
где компоненты Г-матрицы Masb3(z) выражаются через R(z) соотношениями (3.83) при TV = 4. При этом для резольвенты справедливо представление
R(z) = R0(s) + 2 R.AW-
Введем далее -42-компоненты Ra2b2, отвечающие цепочкам разбиений, по формулам
Ra2B2 = - ЪаУаЪ0аа3Ъ3оа2Ъ » - ^а^а, 2 Rdft.
(4.88)
176 гл. iv. конфигурационное пространство
Эти компоненты связаны с определенными выше компонентами Г-матрицы Ма2б2 равенствами
IU2?2 = — R0ma2?2R0.
Заметим, далее, что из правила сумм (3.101) следует обратное к (4.88) соотношение
а2
при любом 6*2. Отсюда находим для R(z) представление R(z) = R0(z) + 2S RVi,vtW,
a2eaA -
где при суммировании по Ь3 должны выбираться разбиения Ь2, удовлетворяющие условию Ъ2 ^ Ь3.
Перейдем к выводу дифференциальных уравнений для компонент Ra2b2 (z). С этой целью, как и в случае волновых функций, заменим а3-компоненты Rd3b3 в правой части (4.88) на соответствующие выражения через ^-компоненты Ra2b2- 'Затем применим к полученным уравнениям слева оператор Н0 + Va3 — z и перенесем в левую часть диагональные члены с d2 = аг. В результате для* ядер операторов Ra2b2 в конфигурационном пространстве, называемых ^-компонентами функций Грина, получим следующую систему дифференциальных уравнений, аналогичную (4.85):
(- Ах + 1>о,Ю - z) ЯаЛ (X, X',z) +
+ ЧОЧ), 2 RcM(X,X',Z) =
(С3*а3)Сй2
= - Vat(Xa3) R0 (X, X', Z) aaJ>a6atbt —
-ЧК) 2 ^ RdM(X,X',z). (4.89)
3 4 3 d2*a2 (V=a3)ca2
Покажем теперь, что эти уравнения формально эквивалентны системе компактных интегральных уравнений (3.103).
Пусть ^а2в2 (X, X', z) '— гладкое при ХФХ' решение (4.89). Применяя к (4.89) оператор R0a (z) и, пользуясь Соотношением ^a,Va3 = R0Ta3, Перепишем Эту СИ-
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed