Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Более сложная ситуация возникает в том случае, когда функция ф(д) не сводится к линейной (х, д) и может иметь критические точки. Мы не будем рассматривать такие интегралы в самом общем виде, а ограничимся изучением асимптотики одномерных интегралов вида ъ
* (К Е)=)М ,1Е_Ю / (*), (4.120)
а
где ф и / — гладкие функции.
Предположим сначала, что функция ф(?) не имеет критических точек на промежутке интегрирования. Тогда основной вклад, который порождает полюсная особенность, может быть вычислен таким же путем," как и в случае линейной функции. Справедлива асимптотическая формула
е) ~ 2ше^(Е)/(Я)Е(адп <р'(Я)), (4.121)
где через Е(?) обозначена функция единичного скачка [1, *>0.
Е(Но, ка
Предположим, далее, что ф(?) имеет единственную критическую точку и, причем ф"(?0)<0. Следующее предложение описывает асимптотику интеграла (4.120) в этом случае.
Предложение В. Если иФЕ, то при %-+°о справедливо представление
^й, е) ~ ^а, е) + ЕЛ, е), (4.122)
где функция Рг дается равенством (4.121% а
р^Е)=(\^т) -^1-•
192
ГЛ. IV. КОНФИГУРАЦИОННОЕ ПРОСТРАНСТВО
Если критическая точка t0 расположена в окрестности полюса, так что
\t0-E\ =oU-v), v>0,
то асимптотика 1(Х) имеет вид суммы
F(X, Е) ~F0(X, Е) + FS(X, Е), (4.123)
где
F0 {К, Е) = (4>124)
и функция F s выражается через интеграл Френеля
оо
ф (t) = j" e^dx: t
FS(X, E) =
= 2 /я e^f (E) Ф (- Я1/2 sign (*0 — E)\<f(E) — ф (g|i/2>.
Коротко опишем доказательство этого предложения. Разобьем интеграл F(X, Е) на два слагаемых, отвечающих представлению
f(t) = f(E)+ (f(t)-f(E)).
Подынтегральная функция интеграла F0, содержащего разность fit) — j(EX> несингулярна, и его асимптотика (4.124) может быть найдена с, помощью метода стационарной фазы.
Второе слагаемое Fs представим в виде, произведения: FS(X, E) = e^E)f{E)T{X, Е). Дифференцируя интеграл Т по параметру X, получаем
~ ъ
дХ J t — Е
а ^
Подынтегральное выражение интеграла ^ несингулярно, и его асимптотика задается формулой
дТ_ . / 2л; . \1/2 Ф(д-ф(^) db~l(bW(tQ))) tQ~E Х
X exp liX (ф (д - ф (Е)) - i
§ 6. БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ 'ИНТЕГРАЛЫ
193
Проинтегрируем это равенство относительно Я. Заметим, что при і0ФЕ справедливо представление (4.122), что задает граничные условия, которые позволяют определить константу интегрирования. В результате придем к асимптотической формуле
7(х Е) ~ 2 ( 2" У" іфЮ-фСоН17' х
— г-
Хе 4Ф(я1/2|ф(^)-ф(д|г/2) + 2тЕ(^-?). (4.125)
Если критическая точка t0 расположена достаточно далеко от полюса, \t0 — Е1^6>0, то интеграл Френеля ФШ в (4.125) можно заменить его асимптотикой. Получим тогда представление (4.122), где разделены вклады полюса и критической точки. При слиянии критической точки с иолюсом, когда \t0 — Е\ = 0(Arv), в старшем порядке выполняется равепство
ww-:«»r^1/gpsign((j_?)(
из которого следует (4.123).
Определенный интерес для нас представляют также интегралы (4.114), в которых функция / имеет слабые особенности. Чтобы понять характер асимптотики таких выражений, рассмотрим в качестве примера одномерный интеграл
а
/(А,)- §Ще**»м, (4.126)
где / и ф — голоморфные функции. Будем считать, что ветвь функции tr~l, заданной на плоскости с разрезом П0, фиксируется условием arg V1 = 0 при arg t = 0.
Если на промежутке интегрирования ф'(?)?=0, то старшие члены асимптотики порождаются особой точкой t = 0. Они описываются тогда формулой, аналогичной (4.121):
1(1) ~ (U)-T(r)/(0)e'*(e). (4.127)
Если критическая точка t0 существует, но tQ Ф 0, то ее вклад добавляется к вкладу особой точки. При этом справедливо представление типа (4.122). При сближении
13 с, II. Меркурьев, Л, Д, Фаддеев
194 ГЛ. КОНФИГУРАЦИОННОЕ ПРОСТРАНСТВО
критической точки с особенностью асимптотика описывается с помощью специальной функции. Ее вид можно найти, раскладывая функцию фШ в ряд по степеням I и сохраняя старшие члены до второго порядка. При и = 0(к~1/2+*) имеет место представление
(0) ^ В; (- А,) + /' (0) Вг+1 (- Ах),
(4.128)
где через Вг{%) обозначен эталонный интеграл:
Вг (I) = ,[ *1+гИт+|(^, А, = К1'2 (Ф (*0) - Ф (0))1/2. о
Отметим, что Вг(^) выражается через функцию параболического цилиндра В^):
Вг (?) = Г (г) ехр {- 1г \ + I Д_г (- «*/«?).
Когда критическая точка ?0 удаляется от особой точки и А,1ф(?0) — ф(0) 11/2 оо, функцию Д.(?) можно заменить ее асимптотикой при |%1 +;о°, а^? = Зл/4:
°- © ~ ш (1 + »{{-)) +
+ Г^(1_+о(4-)).
Правая часть (4.128) принимает тогда вид суммы двух членов, отвечающих вкладам особой и критической точек.,
Глава V
ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ
В КОНФИГУРАЦИОННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В настоящей главе мы изучим волновые функции и функцию Грина для систем заряженных частиц. Парные потенциалы будем предполагать равными сумме кулопов-ской и короткодействующей частей:
где множитель па выражается через заряды частиц и их массы формулой па = Ч?^(2цу)"1/2, а= (&, /)• Как и в случае нейтральных частиц, мы опишем в этой главе координатную асимптотику волновых функций и сформулируем определяющие их граничные задачи на основе уравнения Шредингера и дифференциальных уравнений для компопент-. Кроме того, мы получим компактные интегральные уравнения в конфигурационном пространстве, которые могут быть использованы для исследования волновых операторов и матрицы рассеяния при любых энергиях, в том числе при Е > 0, когда открывается канал развала на N свободных частиц. В основном мы будем проводить вычисления на примере системы трех тел, а в случае N частиц опишем лишь конечные результаты.
