Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
В математической физике существуют прямые асимптотические методы, основанные на свойстве локальности дифференциальных уравнений: метод эталонных уравнений, метод квазиклассических приближений и его частный случай — метод эйкональных приближений. При этом, поскольку при 1X1 -> оо кулоновский потенциал становится сколь угодно малым по величине, так что УС(Х)?'~1 < 1, для построения координатных асимптотик волновых функций естественно использовать метод эйкональных приближений, который действует в случае возмущений, малых по сравнению с энергией.
При таком подходе мы сталкиваемся с проблемой выбора траекторий, которые определяют эйкональные приближения. Однако эту трудность можно обойти, если опираться на соображения аналогии. В самом деле, мы видели на примере двух заряженных частиц, что если сохранить набор асимптотических волн, которые имелись в случае нейтральных частиц (плоские и сферические), то координатная асимптотика для заряженных частиц почти во всех направлениях рассеяния может быть получена простой их модификацией, которая в старшем порядке сводится к добавлению кулоновских фаз. При этом фазы логарифмически зависят от расстояния и могут быть получены с помощью эйкональных приближе-
214
ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
ний вдоль асимптотических траекторий частиц. Можно предположить, что и для систем большего числа частиц набор асимптотических волн не зависит от того, заряжены частицы или нет. В системе трех нейтральных частиц, как мы показали в § 1 главы IV координатная асимптотика определяется четырьмя типами эйконалов — плоским (Р, X), сферическим |Х|, однократными Ъа и двукратными Ъа$. В согласий с нашей гипотезой этот же набор эйконалов мы должны рассматривать и в случае заряженных частиц. Можно ожидать также, что, как и в системе двух частиц, эйкональная форма асимптотики окажется неправильной в ряде особых направлений. Мы, однако, не будем задерживаться здесь на обсуждении этого тонкого вопроса, а вернемся к нему в следующем параграфе.
Перейдем к техническому оформлению этих соображений. Опишем сначала схему построения эйкональыых приближений. Так как конструкция последних не зависит от размерности, мы будем считать, что число частиц
произвольно, так что точка X лежит в пространстве Кз(*г-1)^ ^ _
Пусть Ъ(Х) — некоторое решение уравнения эйконала
^(Х)|2 = 1.
Будем искать решение уравнения Шредингера
(- А + 2 па„_х | ха„_± |-Л ? (X) = Я? (X), (5.45)
порожденное эйконалом Z, в виде
Ч>2 = Аг(Х) ехр ШШ + №ъ}, (5.46)
где ехр {\WziX)} — медленно осциллирующая при 1ЕЪ-+ оо функция и Л2 (X) — решение уравнения непрерывности
ИУА2,чг) + А2кг = 0А (5.47)
Можно показать, что функция А2(Х) ехр ШЕ Z} является асимптотическим решением уравнения Шредингера без взаимодействия. Дополнительную фазу №г мы определим так, чтобы удовлетворить уравнению Шредингера с кулоновскими потенциалами (5.45) при УЕ^-^00.
Подставляя функцию (5.46) в уравнение Шредингера (5,45), получим следующее соотношение для вычисления
f 2. АСИМПТОТИКА ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ 215
фазы Wz".
21№WZ, VZ) - 8WZ - - Гв(Х). (5.47')
Здесь Vc — сумма дальнодействующих кулоновских потенциалов:
aJV—1
Формальное решение уравнения (5.47) можно искать в виде ряда по степепям E~h/2i
Wz (X) =24 (X) Е (5.48)
который, вообще говоря, имеет асимптотический характер при УЕ Z °°.
Подставляя это разложение в уравнение (5.47) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ?-*/2-1/2^ П0ЛуЧИМ рекуррентные соотношения для определения функций dkiX):
2 (Vd0l VZ) - - Ув + 4JlA4z, (5.49)
2(VJft+1, VZ) - /(4). (5.490 Здесь
/ (dh) = Ш - №)2 + 2* f Vdftl -j*
Решим эти уравнения. Обозначим через s^sit) прямую с направляющим вектором К =» VZ, проходящую при t« Z через рассматриваемую точку X. Пусть Д/ — координата этой точки на трансверсальной поверхности Z ¦-const. Точки Хх на прямой sit) задаются равенством Xt =* tK + М,^ где M = X—iK, Х)Ё. Интегрируя уравнение (5.49) вдоль прямой s(j), представим его решение в виде
d0(X) - С.Ш) + WziX) + 6/0(X)s
216
гЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
где С0 Ш) — произвольная функция М и
Z
Wz(*) = -~J dtVc(tK + M)t z0
z
8f0{X) = ±jdt^(tK + M)t zo
где интегралы берутся вдоль отрезка траектории sit) с концом в точке X. Аналогично находим, что коэффициенты dk+i при к^О даются равенствами z
dh+1{X)= §dtf(dk(tK + M)). zo
Мы будем называть далее эйкональным приближение волновой функции, отвечающее траектории с направляющим вектором VZ, старший член Wz в разложениях (5.46) и (5.48)
Yz(X) = fz(M)Az(X) ехр ШЕ Z + iWziX)}. (5.50)
Отметим, что векторные поля ZiX) и MiX) порождают криволинейную ортогональную систему координат в 3(Л/—1)-мерном пространстве (переменные типа действие-угол), причем вектор X может быть представлен в виде суммы
X = ZVZ + M,
где (V?, Ж)-0.
В формуле (5.50) фиксирована зависимость функции 4яz от эйкональной переменной Z, а произвольные функции трансверсального векторного поля должны быть определены с помощью дополнительных условий. Мы найдем такие условия на основе свойства локальности уравнения Шредингера.
