Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Интеграл, порожденный трехчастичпыми особенностями, имеет более сложную структуру. Если обозначить
а = с21ри Ь = с28р8, Е = а1я(2 —pj), *l = 4>(z— Рз\
§ 2. Т-МАТРИЦА ДЛЯ СИСТЕМЫ ТРЕХ ЧАСТИЦ 87
1 + * 1_ *\-2
+ V-
Справедлива следующая формула:
где А = (а — &)2 = (с1^/?1 — ?2зРз)2- Мы видим, что этр ядро является квадратично интегрируемой функцией по каждой переменной. Подчеркнем, что интеграл Аз(/?1»Рз) несингулярен в окрестности двухчастичной энергетической поверхности. Более точно, если переменная ъ принимает значения в окрестности одной из точек ъ = р1— К а
/2 2
или % = р3 — хв, то ядра С, / и Н являются гладкими ограниченными функциями. Закончим на этом исследование ядра ФхУз- Любое другое ядро фарг можно исследовать подобно тому, как мы это сделали для ядра $123• Рассмотрим теперь ядро первой итерации (?ар, которое дается суммой (3.35). На примере ядра (?12з мы убедились, что ядра <?ар являются ядрами типа <2)ар. При этом, если
pl^\z\ + l или р?>|*| + 1, (3.41)
(ра, рр) + р1 — * > 1 и Лр (ра, рр) + рр — я > 1А
то этот интеграл принимает вид
/18 (Рь р3) = Г /-?Н1\Р^\-г, (3.39)
13 ^ Ч ^ J ((д - а)2 - I) ((д - Ъ)2 - Г])'
где / — гладкая функция, исчезающая вне сферы достаточно большого радиуса д2 = 1+Ы. Ясно, что наиболее сильные особенности функции /13 совпадают с особенностями более простого выражения
Ио) = Г_ йд_
13 }{{д-а)*-1){{д-Ъ)2-ЦУ
которое получается из (3.39), если вынести за знак интеграла гладкую функцию /.
Функция может быть найдена в явном виде
с помощью тождества 1
88 М. III. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
либо переменные ра или р^ расположены в окрестности двухчастичной энергетической поверхности
Ра = Ке ъ + Ка или р$ =Rez + к%, (3.42)
то второстепенные особенности не возникают и компоненты этих ядер являются гладкими функциями.
Перейдем Теперь К ИЗучеНИЮ ЯДер )(?а7г..7пР При
п>2. Ядра Qa!v1...yn$ можно выразить через- ядра Q<y1.1}yn^ с помощью соотношения
- ]ар> ъ (*,, с, * - р1) а(^,"У (Р", р\ 2).
(3.43)
Если в качестве переменных интегрирования взять р^ и ра% то интеграл по последней переменной снимается б-функцией. Положим п = 2. Так же, как и выше, вклады двухчастичных и трехчастичных особенностей можно исследовать по отдельности. Интегралы, содержашие двухчастичные особенности, оцениваются с помощью леммы о сингулярных интегралах. Наибольшие трудности связаны с интегралами, в которых пересекаются трехча-стичные особенности. Как и выше, можно показать, что эти интегралы не имеют особенностей,, если- неременные Ра, и рр удовлетворяют одному из условий (3.41), (3.42). Если же эти условия не выполняются, то компоненты
(^ау^^ имеют второстепенные сингулярности. Мы не будем описывать их здесь. Отметим только, что особенности компонент Qa2y1y2$ имеют более слабый характер, чем особенности, отраженные в представлении (3.40).
Начиная с п = 3, можно показать, что второстепенные особенности не возникают. Мы проведем доказательство на примере ядра (?ауг..$при ос = 1, 71 = 2, ^ = 3, 73 = 2, ? = 1. Анализируя предыдущие выкладки, -мы можем убедиться, что интеграл, который может внести второстепенные особенности в это ядро, имеет вид
|^1з (Рп ?) 731(?1
§ 2. Т-МАТРИЦА ДЛЯ СИСТЕМЫ ТРЕХ ЧАСТИЦ
89
где интегралы 113 и 131 определяются формулами вида (3.39), в которых переменные р, р"г и р"з1 р'г следует заменить переменными д и д, р[ соответственно. Функция /(д) является гладкой, она явно выражается в терминах парных Г-матриц. Используем далее представления (3.40) для интегралов 119 и 1ЗХ и заметим, что эти интегралы являются квадратично интегрируемыми функциями переменной д. Отсюда следует, что второстепенные особенности этих интегралов исчезают при интегрировании по д.
Ядра @2уг..р при п > 3 выражаются последовательно через обычные сингулярные интегралы (3.43), содержащие ядра QyL~.1l (я) в подынтегральных выражениях. Эти ядра являются ядрами типа ^«р, причем их компоненты являются убывающими гёльдеровскими функциями. То же можно сказать и о ядрах итераций ()а$. Более точно их свойства можно охарактеризовать следующим образом.
Обозначим через ЛЧР, 8) оценочную функцию, задаваемую равенством
Через П2-*2 обозначим комплексную плоскость с разрезом [—х2, °°), где х2=тах к\. Справедливо следующее утверж-
А
дение. Компоненты Р ядер итераций при тг^4
подчиняются оценкам
1^(Р,р')г)|<с#(р)0)(1 + р'РТ1,
\Р(Р + АР, Р\ *) - ^(Р, Р', я) | < (3.44)
<СЛГ(Р, в)(1 +рр2Г1| АР
равномерно относительно Р' и ъ из П_х2. Такие же оценки имеют место для Р как функции Р'. Компоненты Сг, / и II удовлетворяют оценкам, которые получаются из (3.44), если положить к$ = 0, ка = 0 или одновременно ка = 0, к$ =0 соответственно.
Чтобы доказать эти оценки, пужно последовательно применять лемму о сингулярных интегралах и пользоваться при этом оценками (3.12) для ядер ?«(&, к\ z). Мы ограничиваемся только формулировкой окончательного результата,
90 гл. III. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Ядра типа 3)а&, компоненты которых подчиняются оценкам (3.44), мы будем называть ядрами класса 3)а$. Итак, мы видим, что ядра итераций являются ядра-
