Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Свойства решений компактных уравнений. Перейдем к детальному исследованию системы, уравнений (3.28). Согласно схеме, намеченной в конце предыдущего параграфа, мы должны начать с изучения ядер итераций. Последние выражаются через операторы Ра? .р (%) равенствами
2' Р2?Л...тяР«- (3.35)
Штрих при знаке 2 означает, что суммирование ведется ТОЛЬКО ПО ДОПУСТИМЫМ ЗНачеНИЯМ ^11 Ъч • • ч Т' е-
Рассмотрим сперва ядро оператора (}ар(2)> которое определяет свободный член в уравнении (3.29). В явном виде при а = 1, р = 2 дается формулой (3.31). Мы
6*
84
ГЛ. III. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
видим, что это ядро хорошо ведет себя при комплексных 2 с 1т 2 0 и приобретает ряд сингулярностей, когда 1т ъ 0. Некоторые из них получаются из-за особенностей ядер t1(k1, к[, z) н 12(к2,к2,г), входящих в это выражение. Так, например, мы имеем в (3.29) слагаемое типа
ФА (*а) г(о)
где /?р непрерывна в окрестности особенности знаменателя. Символ детализованного разбиения А включает в данном случае номер пары частиц а (а = 1, 2, 3) и номер собственного значения / (/ = 1, 2,.. .,#«), т. е. .4 = {ос, /}. Кроме этого слагаемого с особенностью вида(р«— х^— г)"1, имеется слагаемое с особенностью вида (р| -— ъ — х^)""1 и слагаемое, где эти особенности перемножаются. Характерно, что зависимость от ка осуществляется только через форм-фактор фА(&а). Аналогично, член с особенностью
вида (р'р —- х-в — г2)""1 зависит.от к$ только через фв(&р)*
а член с особенностью (ра — — г)"1 (р'$2 — х| — г)""1
зависит от ка и к$ только посредством (рА(ка) и фв(&р)' Назовем описанные особенности главными, или двухчастичными. Они существуют только при наличии парных связанных состояний и обнаруживаются в одном и том же виде во всех итерациях уравнений (3.29).
Кроме этих особенностей, мы имеем в (3.31) сингулярность, происходящую из-за обращения в нуль выражения &<х(.Ра, Р$) + Ра — ^. Характерно, что положение этой сингулярности зависит как от переменной ра, так и переменной рр, и не только от величины этих переменных, но и от их направления. Такого типа особенности, существующие даже при отсутствии двухчастичных связанных состояний, назовем второстепенными, или трехча-стичными. Оказывается, что второстепенные особенности ослабляются и вообще исчезают по мере повышения порядка итерации.
Отметим, что двухчастичные и трехчастичные особенности не пересекаются. Действительно, второстепенные особенности возникают, когда обращается в нуль выражение ка(ра> рр) + р$ —2, которое стоит в знаменателе. Если положить, например, % = — Хд + р«, что эквива-
§ 2. Г-МАТРИЦА ДЛЯ СИСТЕМЫ ТРЕХ ЧАСТИЦ 85
+ 2
Ра ХА 2 1 р$ — хв — ъ
+ 2-^^нЫ,р1*) , (3.36)
где суммирования ведутся по всем собственным числам операторов энергии двухчастичных подсистем Ъа и /гр. Ядра /, С и Я будем называть компонентами ядра
Рассмотрим ядра (?а7г..7пр (Л 2) оператора Ро?1...7пр (2) при /г > 1. Согласно определению (3.30) эти ядра представляются в виде п + 1-кратных сингулярных интегралов:
<2«]г..Уп* (р> Р\ *) - (- !)п+11'« #\ 2 ~Р1) X
р(1)2_2 р(п+1)2_2
X ^ (Л|Р+1), 4 2 - Ръ)йРЫйРЫ... *Р(»+1>. (3.37)
При лг = 0 б-функции снимают в (3.37) все интегрирования, и ядра (?ар (Р, Р', ^) в явном виде выражаются через ядра ?«(&, 2) формулами (3.31). Выше мы исследовали эти ядра. Начнем изучение ядер Q{avr..vn$ с ядра 0(1) о
лентпо обращению в нуль двухчастичного знаменателя, то последнее выражение принимает вид ка(ра, р$)+ т. е. при хА>0 это выран^ение положительно. Аналогичное свойство разделимости особенностей мы описали в главе П.
Прежде чем описать свойства ядер Фа^...?^ при п > 1, введем несколько определений. Будем говорить, что ядро ()(Р, Р', ъ) является ядром типа 3)а$, если оно представляется в виде
g? ГЛ. III. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Возьмем для примера а=1, Yi = 2 и ? = 3 и, чтобы не перегружать формулы индексами, будем временно обозначать оператор Q1V3 (z) через Q(z) и его ядро — через Q(P, Р', z). Выбирая в (3.37) при /г = 1, а = 1, Yi = 2, ? = 3 в качестве переменных интегрирования P(21)z=zQi Р22\рз2\ мы получим для ядра Q(P, Р\ z) следующее выражение:
Q (Р, Р', z) = р^^-р J «1 *i (Pi. (7), « - Pi) X
X {к\ (рг, q) + pl — z)~\ (к2 (q, рг), к2 о, р3\ z — q2) X
X оз (рз, ?) + Р? — *3 (А (Рз, &'з, 2 — р'32) dq.
(3.38)
Если вместо ядер ti и ?3 подставить сюда их выражения (3.18), то мы получим, что ядро Q(P, Р, z) является ядром типа iZ5<x?. Обозначим через F, G, / и Я его компоненты. Для ядра F(P, Р', z) получим представление (3.37), где вместо ядер ti и t2 стоят ядра ti и t2. Ядра G, J ж Н можно получить, если заменить в (3.38) t3 на ф(&3(д, р3)), или t1 на Ф1 (&i (<7, Pi)), или сделать это одновременно.
Согласно представлению (3.18), для ядра t2{k2(p1, q), #2 (Рз, 2— Q2) интеграл (3.38), определяющий Q, состоит из двух слагаемых, одно из которых содержит произведение двух, а второе — трех сингулярных знаменателей в подынтегральном- выражении. При этом знаменатели, отвечающие двухчастичным и трехчастичным особенностям, сингулярны в разных частях области интегрирования. Поэтому интегральные представления для компонент F, G, J и Н можно разбить на слагаемые, в каждом из которых имеются либо только двухчастичные, либо только трехчастичные особенности. Интегралы, содержащие двухчастичные особенности, имеют такой же вид, как и аналогичные интегралы (3.11) в случае системы двух тел. Эти интегралы являются убывающими гёльдеровскими функциями при изменении z вплоть до вещественной оси на комплексной плоскости с разрезом от — Ка до оо.
