Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, мы описали основные особенности резольвенты в случае дальнодействующих потенциалов. Согласно нашей гипотезе, ядро резольвенты может быть представлено в виде
Д(/\Р',2) =
I
= 22-Щ^яПр*'*')*
а в (Е л (иЛ — гУ ]АК }
X - . ыл> (2.46)
Кев{рв)~Ч
где суммирование ведется по всем детализованным разбиениям, включая А, В = 0. Мы, однако, ничего не можем сказать о свойствах функций Т (рА, р'в, я) и, в частности, о том, какие сингулярности возникают вместо б-функций несвязной части резольвенты.
В том, что такие сингулярности существуют, можно убедиться на примере задачи двух тел, где решение задачи рассеяния известно в явном виде. Мы увидим далее, что в окрестности энергетической поверхности р2 —
тами и сингулярными знаменателями, которое выражается формулами:
-г*М-гТ|1п* I 2тЬ (х)
§ 4. ОСОБЕННОСТИ РЕЗОЛЬВЕНТЫ (ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ) 67
5*
— р2 = z ядро кулоыовской Г-матрицы может быть записано в виде
Т (п п* z) - Т^2 ЛЦ-^Г*^
F % ' Я (emi(2)__.j)|p__p' |2(l + iT](2))'
где r| (z) = —' ЭТ°И Ф°РМУЛЫ слеДУет» что па
поверхности энергии р2 = р'2 = z ядро Гс(р, р', z), а значит и ядро Tip, р', ъ) из (2.46), имеет сильную особенность (1 — cos 6)1+?т, где cos G = ip, р'). Данная особенность является неинтегрируемой на единичной сфере. Поэтому ядро Гс(р, р', z) нужно понимать как некоторую обобщенную функцию. Мы определим такую функцию в главе V.
Рлава lit
МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В этой главе мы опишем стационарный метод обоснования задачи рассеяния, основанный на линейных интегральных уравнениях.
Как мы видели выше, решение задачи рассеяния в стационарном формализме сводится к исследованию особенностей ядра резольвенты. Мы покажем, что интегральные уравнения являются подходящим средством для однознач-. ного определения резольвенты и описания ее особенностей. Эти же уравнения могут также служить основой для численных расчетов.
В этой главе мы будем действовать в импульсном представлении. В этом случае удобно изучать не саму резольвенту, а Т-матрицу (2.22), ядро которой имеет меньше сингулярностей, чем ядро резольвенты. Вопросы, возникающие при переходе в координатное пространство, мы обсудим в следующей главе.
Мы будем придерживаться следующего плана. В § 1 мы рассмотрим систему двух частиц. Здесь мы опишем основные . технические приемы, которые используются для исследования интегральных уравнений. Этот параграф будет эталоном для последующего изложения в § 2, 3, где рассмотрена система трех и большего числа частиц.
Мы не будем, однако, касаться вопросов обоснования гипотезы об асимптотической полноте. Этот круг задач будет рассмотрен в главе VI.
§ 1. Интегральное уравнение для Г-матрицы в системе двух частиц
Рассмотрим резольвенту. оператора энергии системы двух частиц h, гЫ — (h — z)~\ Как мы уже отмечали, в импульсном представлении удобно использовать Г-мат-рицу, входящую в определение резольвенты:
r(z) =r0(z) — r0U)t(z)r0(z)."
(3.1)
§ 1. Г-МАТРИЦА ДЛЯ СИСТЕМЫ ДВУХ ЧАСТИЦ
09
Уравнение теории возмущений для резольвенты
гЫ r0(z) — r0(z)vr(z) (3.2)
сводится к следующему уравнению для t(z).:
t(z) =vr vr0(z)t(z). (3.3)
Для вывода достаточно подставить r(z) в виде (3.1) в уравнение (3.2) и сократить лишние-слагаемые и множители г0Ы.
Уравнение (3.3) перепишем для ядра t(k, к\ z) интегрального оператора t(z) в виде
t (к, к\ z) = v(k — к') —\v(k — q) t (q% к\ z) dq.
J q — z
(3.4)
Исследованию этого уравнения и будет посвящен настоящий параграф.
Роль переменных /с, /с' и z, входящих в ядра t(k,k\ z), различна. Первый аргумент к Г-матрицы входит в интеграл справа как переменная интегрирования; таким образом, ядро t(k, к', л) является решением уравнения именно как функция к.
Переменные к' и z играют роль параметров, кг входит в виде параметра в свободный член vik — k'), a z — в ядро и (к — q) (q2 —- z)"1. Итак, в (3.4) мы имеем семейство интегральных уравнений второго рода вида
f = U(k')+a(z)f, (3.5)
где неизвестная / является функцией переменной к и интегральный оператор аЫ выглядит следующим образом:
J q — z
Свободный член /о(й') зависит от переменной к'\ f0(k') = v(k-k').
Преимущество уравнения (3.4) по сравнению с (3.2) в импульсном пространстве состоит в том, что в (3.4) входят только гладкие функции, в то время как в (3.2) свободный член r0(z) является обобщенной функцией b(k-k')(k'2-z)-\
Мы используем уравнения (3.4) для определения оператора t(z) и описания его свойств. Интегральное урав-
70
ГЛ. III. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
нение пригодно для этих целей, если оно удовлетворяет альтернативе Фредгольма: уравнение имеет единственное решение (в заданном функциональном пространстве), если сопряженное однородное уравнение не имеет нетривиальных решений.
В нашем ^случае сопряженное однородное уравнение имеет вид
*{к) = 1^ГГ* Iи (к - ^ ^((?) ^' (3>6)
а 'ф(к) принадлежит классу функций таких, что
\^(к)1(к)(1к\<оо. (3.6')
При выводе следует использовать самосопряженность ядра и(к-к'), которое следует из условия вещественности
17Ш = —А).
