Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
gO ГЛ. III. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Эти наводящие соображения подсказывают нам следующую процедуру построения удобных уравнений для исследования Г-матрицы.
Рассмотрим операторы
M«. ?(z) = Oa?Va - VaR0(z)Y?,
где индексы а, ? пробегают значения 1, 2, 3. Нетрудно проверить, что Г-матрица выражается через операторы Ма> р следующим образом:
Т (*) = 2 Мар (*). (3.24)
a,?
С помощью уравнения (2.9) можно показать, что операторы Ma? удовлетворяют уравнениям
. Ma? (z) = oa?Va - VaR0 (z) 2 MV? (z). (3.25)
Система уравнений (3.25) ничем не лучше уравнения (3.23). Однако мы можем сделать следующее преобразование. Сумму J3 правой части разобьем на два слагаемых
VaR0 (Z) Ma? (*) + VaR0 (Z) 2 MY? (Z)
и перенесем первое слагаемое в левую часть (3.25). Мы получим:
(I + VaR0 (z)) Map (z) = 6a?Va - VaR0 (z) 2 MY? (*).
Обратим, наконец, оператор I + VaR0(2) в левой части. Чтобы вычислить результат обращения, рассмотрим оператор ТаЫ, определенный соотношением:
Та (Z) / (Р) = J ta (к*% ка, Z-pl)f (4 Pa) dC
Здесь через ta(k, к\ z) мы обозначили решение уравнения (3.4) с иа{к) в качестве v(k). С помощью этого уравнения нетрудно показать, что Ta(z) подчиняется уравнениям
T«U) - V« - УЛЫТаЫ, ТаЫ V„ - ТЛгШоШа*
(3.26)
Отсюда вытекают следующие равенства:
U + VJU-'Va-Ta, (I + VaRoJ-^I-TaRo- (3.27)
Учитывая эти равенства, мы получим, что Ма>рЫ удов*
§ 2. Г-МАТРЙЦА ДЛЯ СИСТЕМЫ ТРЕХ ЧАСТИЦ
81
летворяет системе уравнении
М«р (2) = баРТа (г) - Та (г) Ы, (г) 2 М?р (г). (3.28)
Данная система представляет собой главный результат этого параграфа. В дальнейшем она будет слулшть основным средством для изучения Г-матрицы.
Уравнение (3.28) определяет Г-матрицу однозначно. Именно, пусть МарЫ — девять операторов, удовлетворяющих системе уравнений (3.28). Тогда оператор
совпадает с оператором ТЫ. Для доказательства этого утверждения следует обратить рассуждения, которые привели нас к системе (3.28). Умножая (3.28) на ограниченный оператор I + УсЗоЫ и учитывая (3.27), мы получим, что операторы М»рЫ удовлетворяют* системе (3.25), а, следовательно, оператор Т (я) удовлетворяет уравнению теории возмущений (3.23). В силу единственности решения этого уравнения при комплексных 2, мы получаем требуемое утверждение.
Уравнения для компонент удобно записать в матричном виде. Пусть сор — вектор-функция с тремя компонентами сор = Ш^Ы, М2рЫ, МзрЫ) и АЫ — оператор, задаваемый матричными элементами
Тогда, при каждом фиксированном ^уравнения (3.28) можно записать в виде уравнения для вектор-функций
Щ = юр} + А (2) сор,
где свободный член представляет собой вектор с компонентами бйрТаЫ (а = 1, 2, 3).
Покажем далее, что полученные интегральные уравнения свободны от недостатков, присущих уравнению (3,23). Заметим сначала, что ядра свободных членов в (3.28) содержат б-функцию. Рассмотрим поэтому вместо операторов МарЫ операторы
Т(2) = 2Ма(5(г)
' О Т, (г) !*„ (г)
ВДад О
/Г8(2)В0(2) Т3 (г) (2)
(3.28')
82 ГЛ. III. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
для которых справедлива система, аналогичная (3.28), WaP (z) = Q$ (z) - Та (z) R0 (z) S WvP («), (3.29)
но с другим свободным членом
($?(*) = 0, Q^(z) = -Ta(2)Re(z)Tp(z)f а=^р.
Мы употребили здесь обозначение
Q^v2...v„P (*) = (- 1)"+1 Та (z) R0 (2) TVl (2) ...
... ТУп(z)R0(z)T^(z)l (3.30)
где индексы Yi»"*i2, ..in пробегают значения, ограниченные условием
Ъ^Ъ+и i = 1, 2, n-1, ifi^a, ^п^Р.
Нетрудно убедиться, что ядра свободных членов системы (3.29)—убывающие гёльдеровские функции. Действительно, имеем, например,
Qi%(P,P',z) =
ki(Py Рг)'*-Р1)Фъ{Ру P't)< k'rz-P? ) ,3 31ч M(ki{PvP») + PI-')
где переменная &a с аргументами ка (ра, р'&) обозначает при а == 2 функции
с 1
1 (3'32)
К (Р2, Рз) = ~Г1-Р2--—Р*> Р = 3'
а при других a и р~ функции, которые получаются из (3.32) циклической перестановкой индексов. Штрих у аргумента отвечает независимой конфигурации системы. Связь между относительными импульсами такова, что
ка(р*, Рф) =* К.
Итак, в отличие от уравнения теории возмущений, в случае уравнения (3.28) o-функции интегральных операторов исчезают после одной итерации. Мы покажем далее, что это обеспечивает компактность системы уравнений (3.28).
'§ 2. Г-МАТРИЦА ДЛЯ СИСТЕМЫ ТРЕХ ЧАСТИЦ 83
Кроме компактности, эта система обладает еще одним свойством, которое выделяет ее из других возможных модификаций уравнения теории возмущений (3.23). Оказывается, однородное уравнение (3.28) эквивалентно уравнению Шредингера. Точнее, по решению однородной системы
Фа = -Та(2)110(г) ? Ф„ (3.33)
можно построить квадратично интегрируемое решение уравнения Шредингера ^Н0 + 2 ^а^Ч^ Я1? по формуле
^=2^сс,ГДе а
У а = ЬлоФа.
Действительно, умножая (3.33) на I + г\аЫУа и учитывая равенство (3.27), получим соотношение
Ч^а = -КоУаЧ^. (3.34)
После суммирования по а йридем к формуле Ч^ = -К0(У1 + У2 + У3)^.
Умножая на Н0 — ъ, найдем, что \Р" подчиняется уравнению Шредингера. Условие квадратичной интегрируемости этой функции мы проверим ниже, после того как охарактеризуем свойства решений уравнения (3.28).
