Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Меркурьев С.П. -> "Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц" -> 21

Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.

Меркурьев С.П., Фаддеев Л.Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц — М.: Наука, 1985 . — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantteordlyasisneschas1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 118 >> Следующая

Уравнение (3.6) немедленно переписываем как уравнение Шредингера
(к2 - %*) г|) (к) = - \ V (к - д) ф (д)
для собственных значений г*.
Мы покажем, что альтернатива Фредгольма применима к уравнению (3.4). Соответствующий класс функций 1(к) мы подберем так, что возможные решения однородного уравнения (3.6) будут принадлежать гильбертову пространству так что значения ъ*, для которых эти уравнения имеют решения, будут дискретными собственными значениями оператора Ь. Использование этой информации позволит детально охарактеризовать ядро Ик, к\ ъ).
Начнем с фредгольмовости уравнения (3.4)% Чтобы это уравнение было фредгольмовым, достаточно, чтобы аЫ был вполне непрерывным оператором. Грубо говоря, это означает, что он должен улучшать свойства функций /(/с), на которые он действует, т. е. делать их более гладкими и более быстро убывающими на бесконечности. Точный смысл этого утверждения содержится в многочисленной математической литературе, и мы не будем здесь ее копировать. Уравнения вида (3.5), где аЫ — вполне непрерывный оператор, мы также будем иногда называть компактными уравнениями.
§ 1. Т-МАТРИЦА ДЛЯ СИСТЕМЫ ДВУХ ЧАСТИЦ 71
г(2)==Гф(Ф
0 0 —
д —2
Если функция ф(д) ограничена и убывает на бесконечности,
\у^1\^С(1 + \д\)-*~\ 6>0, (3.8)
то этот интеграл сходится для всех ?, не подходящих к положительной полуоси. Комплексную плоскость с разрезом на положительной части вещественной оси обозначим через П0. Можно сказать, что I(z) определен при всех % на П0, за исключением разреза. Для того чтобы I(z) имел конечный предел при выходе на разрез, мы должны наложить дополнительные ограничения на функции /(Л). Например, часто употребляется ограничение, называемое условием Гёльдера:
+ Ю - <С(1+ \^)-1-в\Ыа. (3.9)
Если выполняются оба условия (3.8) и (3.9), то /Ы определено на всей плоскости П0 и удовлетворяет условию Гёльдера по %
\1{ъ + А) <С1А1а (3.9')
всюду, кроме окрестности точки z = 01 где а заменяется на тщ(1/2, а). Константа С в (3.9') равномерна по ъ на П0 и убывает при Ы ->¦ °°.
Сформулированное утверждение будем называть леммой о сингулярных интегралах (в названии отражен тот факт, что интеграл /Ы становится сингулярным при вещественных положительных z). Появление оговорки относительно окрестности z = 0 имеет простое объяснение: в сферических координатах сингулярное ядро вида (3.7) имеет вид
и множитель Ух в окрестности х = 0 удовлетворяет условию Гёльдера с показателем 1/2.
Лемма о сингулярных интегралах подсказывает класс функций /(Л), в которых уравнение (3.4) является фред-гольмовым. Будем считать, что и(к) удовлетворяет
Для подбора подходящего класса функций /Ш рассмотрим более подробно интеграл в уравнении (3.4), который имеет вид
* (3.7)
72
ГЛ. III. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ограничениям типа (3.8) и (3.9): \иШ\<С(1+\к\)~1-\
(3.10)
Ык + Ю - и(к)\^ са + Ш)-1-еш«
и что показатель а превосходит 1/2. Естественность последнего условия будет видна из дальнейшего. Пусть заданы функции /(/с), удовлетворяющие аналогичным условиям, но с другими, вообще говоря, показателями 9' и а. Рассмотрим интегралы
е(к,ж)-\"<к-*'®*1. (3.11)
Нас интересуют свойства §{к, z) как функции к при фиксированном ъ и нам нужно, чтобы они были лучше таковых функции /Ш как по гладкости, так и по убыванию. Этого легко достичь, так как зависимость g(k, z) от к определяется только функцией и(к).
Более того, из леммы о сингулярных интегралах вытекают следующие оценки:
\ё(к, г)\^СЫ{1 + \к\)-1~\
(3.12)
| * (к + К z)-g(klz)\^C {г) (1 + (к I)"1"011 к |\
где а{ может быть взято сколь угодно близким, но меньше, чем а. Последнее обстоятельство связано с тем, что при оценке гёльдеровской гладкости g(k, г) малую часть этой гладкости надо оставить на и (к — д) как функцию переменной интегрирования д для применения леммы о сингулярных интегралах.
Показатели 0' и р,' совсем не участвуют в этих оценках. Они определяют свойства g(к, z) как функции переменной z1 которая, однако, в интегральном уравнении считается параметром. Именно этим наше интегральное уравнение отличается от так называемых сингулярных интегральных уравнений, в которых участвуют ядра вида
х__хг с нодвияшыми особенностями и которые не
фредгольмовы.
Итак, если показатели гладкости и убывания а' и 0' функции /(/с) меньше, чем а и 8 соответственно, то интегральный оператор аЫ их улучшает и, таким образом, является вполне непрерывным,
§ 1. Г-МАТРИЦА ДЛЯ СИСТЕМЫ ДВУХ ЧАСТИЦ 73
вещественно, что может иметь место только, если 1фШ12 = 0 при &2 = ^. Вследствие гёльдеровости ф(&) особенность функции г|)Ш из (3.15) при к2 = Х квадратично интегрируема. Более точно, в окрестности этой особенности имеем
и при а1 > 1/2 эта особенность достаточно слаба. Именно в этом месте используется условие а > 1/2 для показателя гладкости функции V(к).
Специально необходимо рассматривать случай 2 = 0, когда приведенные аргументы теряют силу. Как показы-
Обратимся теперь к исследованию однородного уравнения (3.6), которое мы должны рассмотреть в классе функций удовлетворяющих условию (3.6') для всех
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed