Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
I (к,.к', z) = Щ?Ш +1 (к, к', г), (3.80)
ъ у ъ
где I и фШ — гладкие функции, убывающие на бесконечности. Мы будем считать частицы одинаковыми и положим т = 1. При этом |ср(0) I2 = (2я2)-\
Второе слагаемое (3.80) дает фредгольмов вклад в трехчастичное уравнение. Рассмотрим подробнее вклад первого слагаемого. Уравнение (3.28) с этим слагаемым сводится к одномерному. Более точно, будем искать его решение Фа(Р) в виде
Первое слагаемое является старшим при г, лежащих в окрестности нуля. Уравнение для Р(р) выглядит
Ю4 ГЛ. III. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
J Р — Ра + а
рд + д' Я
Этот оператор имеет дискретный спектр при конечных А, а при X ->¦ оо (т. е. 2 ->- 0) собственные значения Кп имеют асимптотическое поведение
Кп-к(±п\ « = 0,1,2,...,
следующим образом:
F (р) = /о (Р) + J -—;-^-й-ЛГ-г*ар*л
Это уравнение можно упростить в окрестности точки 2 = 0, если заметить, что вклад в сингулярную часть дают значения функции ср(р) при р = 0. В результате, при малых отрицательных z и р2 ^ р0, получим следующее уравнепие:
*(р)-Ш + ^ J . з F(q)dq -,
ш<рв V я. + т д2 (я. + р2 + (р. ч) + ?2)
х--4-«.
После отделения угловых переменных это уравнение значительно упрощается. Выпишем, например, уравнение для сферически симметричного решения:
(3.81)
Здесь _ мы сделали замену переменной интегрирования q ->¦ УЯд, р УЯр. Мы видим, что при z ->- 0 промежуток интегрирования становится бесконечным. Из-за медленного убывания ядра отвечающий ему оператор теряет тогда фредгольмовость. Чтобы изучить характер спектра на границе, сделаем дальнейшие упрощения и сохраним только старшие члены ядра при больших значениях р и д. Получим интегральный оператор
§ 4. примеры
105
1
где Л = -у 1п А, и
2 -гя^Т
# (©) = Г1п 1 + р + р„
Таким образом, решение уравнения (3.81) обращается в бесконечность при таких при которых уравнение
имеет решение. Нас интересуют большие положительные о). В этом случае это уравнение сводится к уравнению
±- ±.еп<*/в
которое имеет единственное решение. Обозначим это решение через 0о. Тогда при Л=-зхгг/о)0 решение Р0(р) уравнения (3.81) обращается в бесконечность. Используя связь Л и Л, видик, что сингулярные значения Я имеют следующее асимптотическое распределение:
Хп = Я0 ехр {-2пп/(й0}, (3.82)
где в Х0 мы собрали все неопределенные константы, которые появились по ходу вычислений. Формула (3.82) представляет собой основной итог проведенного исследования. Можно показать, что сделанные нами приближения не отражаются на конечном результате и асимптотика дискретного спектра при X ->¦ 0 действительно описывается этим соотношением. Заметим, что для существования указанного эффекта необходимо, чтобы виртуальные уровни имели по крайней мере две пары частиц.
Таким образом, если двухчастичные подсистемы не имеют связанных состояний, но обладают виртуальными уровнями, то у оператора энергии системы трех тел появляется бесконечное число связанных состояний в окрестности точки 2 = 0. Физическое происхождение этого явления обусловлено тем, что слабо связанные двухчастичные подсистемы индуцируют медленно убывающее притяги-вательное взаимодействие. Этому взаимодействию и отвечает экспоненциальная серия собственных чисел (3.82).
106 ГЛ. III. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 5. Компактные интегральные уравнения для N частиц
Трудности задачи. Уравнение типа (3.28) можно выписать также и для систем любого числа частиц N. Однако такие уравнения непригодны для исследования задачи N тел при N ^ 4 по тем же причинам, что и уравнение теории возмущений (в.23). Поясним это обстоятельство подробнее.
Согласно рецепту, описанному в § 2,, Г-матрицу ТЫ следует разбить на компоненты:
Ма^Ьд^ («) = Ve^O (fliv-i, &iV-l) — Ve^R (z) VbN^v
(3.83)
Здесь вместо индексов а и ?, обозначающих АДА/—1)/2 пары частиц 12, 13, liV, (iV-l)iV, мы употребляем символы отвечающих им разбиений Оператор ТЫ выражается через компоненты ^N-ibN-i Ы равенством
T(z)= 2 Ma^b^iz), (3.84)
aN-UbN-l
где суммирование ведется по всем N(N — D/2 разбиениям aN-i и bjv-i. Действуя по такой же схеме, как и в случае трех тел, можно показать, что компоненты MaN_^1bN_1(z) удовлетворяют уравнениям типа (3.28):
?aJv_ibiY__1 =
= б (aN-u &jv-i) Та^_А — TaiV-1R0 2 ^cN-ibN-i'
(3.85)
Здесь и часто далее мы опускаем переменную z в обозначении операторов. Оператор TajV__1 (z) соответствует системе из N частиц, в которой все потенциалы, за исключением VaN_v равны нулю. Ядро этого оператора явно выражается в терминах двухчастичной Г-матрицы равенством
= taN-l{kaN-V kaN-V Z ~ P"N-l) 6 (PaN-l ~ ^ttiV-l)'
Ядра интегральных уравнений (3.35), подобно ядру системы уравнений (3.28), содержат б-функции
§ 5. СИСТЕМА ^ ЧАСТИЦ
107
^(^а^! — Ра^х)- Как мы видели выше, такие б-функции исчезают в задаче трех тел после одной итерации, что и обусловливает компактность уравнений (3.28). Однако при N ^ 4 это свойство уравнений пропадает. Действительно, при итерировании уравнений (3.35) появляются, например, операторы вида
